I. — INTÉGRALBS MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

de rajon infiniment petit, décrite du point {Xj y, z) comme centre, au volume de cette sphère. Si |jL| et [jl^ sont les valeurs maximum et minimum de [jl dans la région (e/), il est clair que la masse renfermée dans cette région est comprise entre (x, Çi et [Xjt^/; elle est donc égale à (>,F(Ç„ ru, Ç,), le point (Ç/, ti/, ÎJ/) étant un point convenablement choisi de (e/). La masse totale est

donc égale à Tintégrale triple / j j ^dxdy dz, prise dans la région (E).

Le calcul d'une intégrale triple se ramène au calcul de trois intégrales simples successivement. Supposons d'abord que la région (E) soit un parallélépipède rectangle limité par les six plans x=^Xq, jc = X, y=iyQ, j^ = Y, ^ = 5o, ^ = Z. Nous décomposerons (E) en petits parallélépipèdes par des plans parallèles aux trois plans de coordonnées. Le volume de l'un d'eux a pour expression (o^i — .r/i)(jKA — JKa-i)(5/ — ^/-O, et Doas avons à chercher la limite de la somme

OÙ le point (Ç/a/, r^ki, 'Çîki) est un point quelconque du petit parallélépipède correspondant. Évaluons d'abord la portion de S qui provient de la file d'éléments compris entre les quatre plans

x = Xi..x, x = ori, y=yk-u y=yk,

et prenons tous les points (Ç/a/, 'r\ikh '^iki) sur la droite :r = ^/i, y=.yff^. Cette file de parallélépipèdes donne une somme

et nous pouvons comme plus haut (n° 123) choisir les J^ de façon que la somme entre parenthèses soit égale à l'intégrale simple

^{^i-uyk-\)= j ¥{Xi-x,yk-u z)dz.

Nous n'avons plus alors qu'à chercher la limite de la somme

^^^{^t — '^^i-\){yk — yk-i)^{xi-x, yk-i),

limite qui est précisément l'intégrale double

étendue au rectangle formé par les droites x^^x^y x = X, y =:yQ^y = Y. L'intégrale triple est donc égale à

^(x,y)dyy ou, en remplaçant ^(x, y) par sa valeur, à

(4) f dx f dy f ¥{x,y,z)dz.

Le sens de ce symbole est bien clair. On effectue la première intégration en regardant ^ et jk comme constants; le résultat est une fonction des deux variables x et y, que l'on intègre ensuite entre les limites^© et Y, en regardant a? comme constant et^ comme variable. Le résultat de cette seconde intégration ne dépend plus que de x, et on l'intègre de nouveau entre les limites Xq et X.

Il y a évidemment autant de manières d'effectuer le calcul qu'il y a de permutations de 3 lettres, c'est-à-dire 6. On peut, par exemple, écrire l'intégrale triple

f dz f dx f F{x,y, z)dy= f W{z)dz,

en désignant par W(z) l'intégrale double de ¥ (x,y^ z) étendue au rectangle formé par les droites x = Xq^ ^ = X,y =zy^,y = Y. On serait encore conduit à cette expression en commençant par évaluer la portion de la somme S provenant de la tranche de parallélépipèdes comprise entre les deux plans voisins :; = s/<, z=zZi; en prenant convenablement les points (Ç, tj, Ç), cette tranche donne,

dans S, la somme

W{zi.i)(z,-zi^i),

et le raisonnement s'achève comme plus haut.

144. Considérons maintenant une région de l'espace limitée d'une façon quelconque; on commence par la décomposer en régions telles qu'une droite parallèle à une direction fixe conve-