I. — IliTÉGRALBS MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

nablement choisie ne rencontre la surface limite qu'en deux points. Nous nous bornerons au cas d^un volume limité par une surface qu'une parallèle à Oz ne peut rencontrer en plus de deux points. Les points de cette surface se projettent sur le plan xOy à Pinterieur d'une aire A limitée par un contour fermé C, et à tout point (x, y) de A correspondent deux points de la surface limitaole, de coordonnées z^ = fi(x^y) elz^ = ^2(^5 ^)' Les fonctions f I et (fi sont continues à Tintérieur du contour C, et nous

Fig 3î

supposerons çj < cp^. On décompose encore le volume considéré par des plans parallèles aux plans de coordonnées, mais il j a ici des parties irrégulières qui sont des portions de parallélépipèdes. 1^ somme des éléments provenant de la file comprise entre les 4 plans X = Xi i y X = xi^ y =^yA~i ^y -^yk^ encore pour expression (n» 124)

la valeur absolue de tik étant moindre que tout nombre donné à l'avance e pourvu que la dislance des plans parallèles voisins soit

suffisamment petite. La somme ^.^.^îki^î — xui)(yk — yk-i)

a zéro pour limite, et l'intégrale triple cherchée est égale à l'inté- G. 22

grale double

étendue à la région (A) limitée par le contour C, de la fonction ^( JT, y^ des variables x^ y,

Si une parallèle à l'axe Oy ne rencontre le contour G qu'en deuï points de coordonnées y^ =: ^, (x), y^ = ^i{^)^ lorsque x varie de Xi à X21 rintégraJe triple a aussi pour valeur

dx f dy ¥{x,y,z)dz.

Les limites z^ et ^2 dépendent à la fois de x et de y, les limites/f et ^2 de X seulement et enfin les limites x^ et x^ sont des constantes.

On peut encore intervertir Tordre des intégrations, mais les limites sont en général tout à fait différentes, suivant l'ordre dans lequel les intégrations sont effectuées.

Remarque. — L'intégrale double

^{x)= f 'dy f *F{x,y,z)dz

est étendue à la section faite dans le volume considéré parle plan d'abscisse x, parallèle à ;r == o, et la formule (5) peut s'écrire

/ '9i^x)dx,

C'est encore le résultat que l'on obtiendrait en évaluant d'abord la somme des éléments provenant de la tranche comprise entre les deux plans x •=. ^i i, x ;= xi. En prenant convenablement les points (Ç, 7\y Ç), cette tranche donne pour somme le produit

Exemple, — Soit à évaluer l'intégrale triple / / j zdxdy dz, étendue