Changements de variables. — Soient

[ X- fiu, P, w),

( 5 -^ 4/(a, V, tv),

des formules de transformations qui font correspondre, point par point, à la région (E) de Tespace une autre région (E,); on considère w, ^, w comme les coordonnées rectangulaires d'un point par rapport à un autre système d'axes rectangulaires, en général différent du premier. Si F(jc,^, z) est une fonction continue dans la région (E), on a, d'une manière générale,

i \ \ \ ^{x,y,z)dxdydz

dudv dw^

les deux intégrales étant prises respectivement dans les ré-

34o CHAPITRE VII. — INTEGRALES MULTIPLES.

gioDS (E) et (El). C'est la formule du changement de variables dans les intégrales triples.

Pour démontrer que la formule (7) est générale, on commence par remarquer que, si elle est établie pour deux ou plusieurs changements de variables particuliers, elle est vraie aussi pour le changement de variables obtenu en les effectuant successivement, d'après les propriétés connues du déterminant fonctionnel (n'^SO). Si elle s'applique à plusieurs régions de l'espace, elle s'applique aussi à la région obtenue en les ajoutant. Cela posé, nous démontrerons, comme dans le cas d'une intégrale double, que la formule s'applique à toute transformation où Ton ne change qu'une des variables indépendantes, par exemple à une transformation de la forme

xr^x'j y=y\ z^'^{x\y\ z').

Nous supposerons que les deux points M(^,^, z) et M'(a:', j^, 5') sont rapportés au même système d'axes et qu'une parallèle à 0^ ne rencontre qu'en deux points la surface qui limite la région (E).

Fig. 33.

Les formules (8) font correspondre à cette surface une autre surface limitant la région (E'), et le cylindre circonscrit à ces deux surfaces, ayant ses génératrices parallèles à 0«, est coupé parle plan ^ := o suivant une courbe fermée C. Tout point m de la région A, intérieure au contour C, est la projection de deux points m^ et ma de la première surface, de coordonnées z^ et Sj, et de deux points m^, m'^ de la seconde surface de coordonnées 5',, z^-