I. — INTÉGRALES MULTIPLES. CHANGEMENTS DE VARIABLES. Vô

que Ton ait F| == Fj -- Fj -— o, et ces conditions sont suffisantes. Les formules qui donnent ds^ et dW prennent alors la forme simple

(20) ds^=nidu^-^H^dv^-hHidw\ dV = ^lÛÏÛUidudvdw,

On peut retrouver facilement ces formules par quelques considérations de géométrie infinitésimale. Supposons du^ dv^ dw très petits, et assimilons le solide élémentaire défini tout à Theure à un petit parallélépipède rectangle à faces planes. Les arêtes de ce parallélépipède sont respectivement y/Hi du^ y/H^ dv^ y/Hs dw^ en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur. Mous aurons les formules (20) en prenant pour élément linéaire et pour élément de volume la diagonale et le volume de ce solide élémentaire. L'aire d'une des faces ^^^W^duds^ représente de même l'élément d'aire de la surface («').

Prenons pour exemple les coordonnées polaires dans l'espace

ar — p sinô cosîp, ^ — p sin6 sintp, z — pcosC

p représente la distance du point M(jc, y^ z) à l'origine, 0 l'angle que fait OM avec O5, et cp l'angle que fait avec Oj: la trace du plan MO5 sur le plan z ~o. Pour obtenir tous les points de

l'ig. 3^

l'espace, il suffit de faire varier p de o à -t- 00, 0 de o à ir, et cp dcoà 21t. Des formules (21) on déduit, en faisant le calcul,

ds^ ~ </p« -f- p* rfO* H" p* sin^ô do'^

et par suite

(a3) dW ^ p^ sin^ dç> d^ d(f.

On retrouve aisément ces formules sans aucun calcul. Les trois familles de surfaces (p), (6), (») sont respectivement des sphères concentriques à Torigine, des cônes de révolution autour de Oz ayant l'origine pour sommet et des plans passant par Oz. Ces surfaces forment bien un système triple orthogonal, et les dimensions du solide élémentaire sont, comme on le voit immédiatement sur la figure, rfp, p rfO, psinOrfcp; ce qui conduit aux formules (aa) et (aS).

Pour calculer au moyen des variables p, 8, ^ une intégrale triple étendue à la région limitée par une surface fermée S qui n'est rencontrée qu'en un point par une demi-droite issue de l'origine, et qui renferme l'origine à l'intérieur, on devra faire varier p de o à R, si R ^3^(8, (p) est l'équation de la surface, puis 6 de o à ii et cp de o à 27^. Par exemple le volume limité par cette surface est égal à l'intégrale triple

f do I d^ I p^sinOé/p; la première intégration s'effectue immédiatement et il reste

/.sir x,n

On emploie aussi quelquefois les coordonnées semi-polaires r, iù^ z^ oh X ^^- r cosco, ^ rr^: r sin (i>. Dans ce cas, on a

ds'^ — dr^ -+- r* rfto' -^ dz^^ et

d\ — r di^dr dz,

147. Coordonnées elliptiques. — Les surfaces représentées par Téqualion

où X est un paramètre variable t\. a^h'^c > o, forment une famille de quadriques homofocales. Par chaque point de l'espace, il passe trois surfaces de cette famille, un ellipsoïde, un hyperboloïde à deux nappes et un