I. — INTÉGRALES MULTIPLES. — CHANGEMENTS DE VARIABLES

hypcrboloïde à une nappe, car l'équation (24) a toujours une racine Xi comprise entre b et c, une racine Xj comprise entre a et 6, et une racine X3 supérieure à a; ces trois racines Xi, Xj, Xj sont appelées coordonnées elliptiques du point.de coordonnées rectangulaires x, y^ z. Deux surfaces quelconques de la famille sont orthogonales, car si Ton remplace X par X^, puis par X], dans l'équation (24 ), et qu'on les retranche membre à membre, il vient, en divisant par Xi — X2,

ar' ^' ^*

^ ^ [X7— a)(X7^a~)"^ ,X, — "6}aî--"^~> "^ (V,-cKX7-^) '" ^'

relation qui démontre l'orthogonalité des deux surfaces (X|) et (Xj).

Pour avoir facilement x^y^ z tu fonction de X|, X], Xj, remarquons que l'on doit avoir identiquement

(X — a)(X — fcnX -c) — x^{\ — b)il — c)—y^i\—a){\ — c) -^2^X — ohX — 6) = (X~X, )(X — X,)(X --X,);

en faisant successivement X — <7, X ^^, X — c dans cette identité, on en lire

(X3-c)(X,-c)(Xt-c) (a-cj(b-c)

On déduit de là, en prenant les dérivées logarithmiques,

dx — - ( c — - -+- > H ^ »

2 Al — Il Aj — a A3 — a/

, y / dkt dXi d\:t .

ii\Ai—b Xj— ^ k^—bJ

~ 2 \Xi — c Xj— c X3— c/'

en faisant la somme des carrés, les termes en ^Ai^Aj, r/XtcAj, dkid).^ tloivent disparaître d'après la relation (25) et les relations analogues. Le coefficient de dk] est

ou, en remplaçant a?*,^*, ^* par leurs valeurs et réduisant,

I (X,— Xi)(X,— X,)

4 (Xi — a){\i — b \iAi — C)

et les coefficients Mj et M3 de dX\ et de «Aj s'en déduiront par permutatation circulaire. L'élément de volume est alors /MiMjJVlatAiéfXjO^Xs.

lis. Intégrales de Dlrichlet. — Soit à calculer Tintégrale triple I I jxPyiz'^ix - X —y • zydx dy dZf

prise à l'intérieur du tétraèdre formé par les quatre plans ar — o, ^ = o, z = Oj X -^y — 5 — I. Posons

x^y-^z ^-\, y^z = l-r, zr^^r^C,

Ç, 7), Ç étant trois nouvelles variables; ces formules peuvent encore s'écrire

et l'on a inversement a? = {(i — rj,^ = ît,(i — Ç), z — Çr,ÎJ. Lorsque x,y, * sont positifs et que la somme x -h y -+- z est inférieure à un, Ç, tj, Ç sont compris entre zéro et un. Inversement, lorsque 5, t), Ç sont compris entre zéro et un, on a :r > o, ^ > o, z ^ o, x -^ y -h z <, i , Le tétraèdre précédent est donc remplacé par un cube.

Pour calculer le déterminant fonctionnel, posons X = Ç, Y = Çt), Z — {t,î;, ce qui donne a? — X — Y, ^ — Y -- Z ; ^ = Z, on a

Dix, y. z) T>(x. y, z) DfX, Y, Z) D(l, r„ ;; - DCX, y, Zl * D(J, .), Ç)" '" ^ ""''

et l'intégrale triple devient, par ce changement de variables,

La fonction sous le signe / est le produit d'une fonction de ( par une fonction de tj et une fonction de Ç. L'intégrale triple est donc le produit

ou, en introduisant les fonctions V [voir formule (33), p. 3i5],

r(p^fj — r^3)vjs-^i) r(y-f-r-f-9.)r(/?-hi) r(r-4-i)r(^-n),

en supprimant les facteurs communs, il reste, pour valeur de l'intégrale triple,

(28) r(p r-i)r(q -t-i)r(r-Hi)r(5-^i)

149. Formule de Green. — Il existe pour les intégrales triples une formule toute pareille à la formule (i5) du n"" 126. Considérons d'abord