II. — INTÉGRATION DES DIFFKRBNTIBLLBS TOTALES

•^•? y^j ^% étant trois valeurs numériques choisies à volonté, et C une constante arbitraire.

. Étude de l'intégrale Ç P rf^ -i- Q rf^. ~ La question

précédente peut être traitée à un autre point de vue qui permet une étude plus approfondie et conduit à des résultats nouveaux. Soient P(j:, j^)etQ(x, ^) deux fonctions continues^ et admettant des dérivées partielles du premier ordre continues, dans une région A limitée par un seul contour fermé C; il peut d'ailleurs arriver que cette région A embrasse tout le plan, ce qui revient à supposer le contour C rejeté à Tinfini. L'intégrale curviligne

fpdx-hQ dy,

prise le long d'un chemin L situé tout entier dans A, dépend en général du chemin d'intégration; nous allons d'abord chercher à quelles conditions cette intégrale ne dépend que des coordonnées (oTo) ^'o)? (-2^1 , y\ ) des extrémités de cette ligne. Soient M et N deux points quelconques de la région A, et L, \J deux chemins joignant ces deux points, sans se croiser entre les extrémités; ils forment, par leur réunion, un contour fermé. Pour que les intégrales curvilignes prises le long de L et de \J soient égales, il faut évidemment et il suffit que l'intégrale prise le long du contour fermé que forment ces deux lignes, en marchant toujours dans le même sens, soit nulle. La question proposée est donc équivalente à celle-ci : Que faut-il pour que l'intégrale curviligne

Jpdx-i-Q dy,

prise le long d^ un contour fermé quelconque situé dans A, soit nulle?

La réponse se déduit immédiatement de la formule de Green,

où c est un contour fermé quelconque situé dans A, et où l'intégrale double est étendue à l'intérieur de C. Il est clair que si les

dérivées des fonctions P et Q satisfont à la relation

rintégrale curviligne du premier membre est toujours nulle. Cette condition est nécessaire. En effet, si % ~ n'est pas identiquement nul dans la région A, comme c'est une fonction continue, on pourra toujours trouver une région a assez petite pour que le signe soit constant dans a; il est clair que l'intégrale curviligne prise le long du contour de a ne pourra être nulle, d'après la formule (49)-

Si la condition (43/ est vérifiée identiquement, deux chemins L, L', ayant les mêmes extrémités M, N, et ne se croisant pas entre ces extrémités, donnent la même valeur pour l'intégrale curviligne. Il en est encore de même s'ils se coupent un nombre quelconque de fois entre M et N, car il suffit de les comparer à un troisième chemin L*", ne rencontrant aucun des deux premiers, sauf aux points M et N.

Cela posé, supposons que l'une des extrémités de la ligne d'intégration soit un point fixe (xqj yo)> la seconde extrémité (^,7) étant un point variable de A; l'intégrale

f Pdx-hq dj\

prise suivant un chemin de forme arbitraire, ne dépend que des coordonnées {x^y) de l'extrémité variable. Les dérivées partielles de celte fonction sont précisément P(j?, ^) et Q(^,^). On a, par exemple,

F(a7-f-Aa?,>') = F(x,j^)-+- / V{x,y)dx,

car on peut supposer que l'on va d'abord du point {xq^ y^) au point {x^y)^ puis du point {x^y) au point {x 4- tkx, y) en restant sur la parallèle à O^r et, le long de cette droite, on a dyr=o. Appliquons la formule de la moyenne, nous pouvons écrire

F(^-H^2::i-^'-1^ = P(xH-eAx,^, (o<6<,,k

en faisant tendre ^x vers zéro, il vient F'^. = P, et l'on verrait de