II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES

Maïs on a, d'après la condition d'inlégrabilité (13), *

et la relation précédente se réduit à

Le second membre ne dépend que de ^; il y a donc une infinité de fonctions de ^ qui satisfont à cette relation. Elles sont comprises dans la formule

Vo étant une valeur particulière de y, et C une constante arbitraire. Il existe donc une infinité de fonctions u{x, y) satisfaisant à Téquation (40'> ^^'^^ ^^^^ données parla formule

et ne difi^èrent Tune de Tautre que par la valeur de la constante additive C.

Soit, par exemple,

p^^rny y — mx

la condition (43) est vérifiée, et l'on a, en posant jCo -- o, j^o=^ » j

En effectuant les intégrations indiquées, il vient

M = - [log(a?«-+-^*)]J^-+- /n(arc tang- ) -i- log^ -i- C, ou, en réduisant.

u — - logix^-i-y*) -h m arc tang — h C.

La méthode précédente s'étend au cas d'un nombre quelconque de variables indépendantes. Nous développerons encore les calculs

35 d CHAPITRE VII. — INTÉGRALES MULTIPLES.

pour Irois variables. Soient P, Q, R trois fonctions de x^y^z^ l'équation aux différentielles totales

(45) rfa = Pûte-4-Qrf^-4-Rrf5

est équivalente à trois équations distinctes

En calculant de deux façons différentes les dérivées

àxdy j— 1 ^—j- y on obtient trois conditions pour que le problème soit

possible

àP dq ^f ^ àQ dR

^ '"^ &y ~~ dx^ dz "" dx^ ôz ~~ ày'

Supposons-les satisfaites. D'après la première, il existe une infinité de fonctions w(a:, j^, z) dont les dérivées partielles par rapport k x ely sont respectivement P et Q ; elles sont comprises dans la formule

u= f P(x,y,z)dx-¥- f Q(xo,yyZ)dy-hZ,

Z désignant une fonction arbitraire de z. Pour que la dérivée ^soit égale à R, il faut, de plus, que l'on ait

condition qui se réduit, en tenant compte des relations (47)?^ ou

On en conclut qu'il existe une infinité de fonctions u{Xf y^ i) satisfaisant à l'équation (45); elles sont représentées par la formule

u== \ Pix,y,z)dx-\- f Q{xo, y, z)dy-\- j Rixo.y^, z)dz ■