II. INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES. 36l

dérivées, vérifiant la relation — = -.^, sauf en un nombre fini de

' oy ox

points où Tune au moins des fonctions P, Q est discontinue. Nous supposerons, pour fixer les idées, qu'il y ait dans A trois points a, é, c de discontinuité. Entourons chacun de ces points d'une circonférence de rayon très petit et joignons ces circonférences au

contour C par une coupure ifig- 36 . L'intégrale / P rfx -h Q dy^

Fig. 36.

prise depuis un point fixe (.^c^o) jusqu'à un point variable (j:, ^) sur une ligne ne franchissant aucune coupure, a une valeur unique en chaque point, d'après le cas déjà étudié, car le contour C, les coupures et les petites circonférences forment une seule ligne pouvant être décrite d'un seul trait continu. Nous désignerons

par F(x, y) la valeur de cette intégrale prise suivant le chemin direct allant de Mo(a:o, J'o) en M(ar, y).

On appelle lacet le chemin composé de la ligne droite joignant le point Mo à un point a' infiniment voisin de a, de la petite circonférence de rayon aa' et de centre a, cl de la droite a'Mo. L'intégrale curviligne 1 V dx -{- Q^dy, prise le long d'un lacet, se

réduit à l'intégrale curviligne prise le long de la circonférence. Cette dernière intégrale n'est pas nulle en général, si l'une des fonctions P ou Q est infinie au point a, mais elle est indépendante du rayon de la petite circonférence; c'est une constante ± -A), le double signe correspondant aux deux sens de parcours. Nous désignerons de même, par ±: TJb et zb C, la valeur de l'intégrale

curviligne prise le long d'un lacet décrit autour de Tun des points singuliers b ou c.

Cela posé, tout chemin joignant le point Mo au point M peut se ramener à une suite de lacets, suivis du chemin direct allant de Mo en M. Par exemple le chemin Momrf^/M peut se ramener à la suite des chemins suivants MomrfMo, MorfeMo, Moe/Mo, Mo/M; le chemin Mo/wrfMo peut à son tour se ramener à un lacet décrit autour du point singulier a, et de même pour les autres. En6n Mo/M est équivalent au chemin direct. Il s'ensuit que, quel que soit le chemin d'intégration, la valeur de l'intégrale curviligne est de la forme

(52) F( J7, j^) — F(a7, ^) -f-mJl, -h/iUÎ) -h/)G,

m, /i, p étant trois nombres entiers, positifs ou négatifs, absolument quelconques. Les quantités X, 1)1), C sont les périodes de l'intégrale curviligne. Cette intégrale est donc une fonction des variables x^ y, qui admet une intinité de déterminations, et nous voyons l'origine de ces déterminations multiples.

Remarque, — La fonction F(a:, y) est une fonction bien déterminée dans la région A, quand on a tracé les coupures aa, 6^, cv; mais on doit remarquer qu'en deux points infiniment voisins tels que m, m', de part et d'autre d'une coupure, la différence

F(m ) — V{m' ) a une valeur finie. On a, en effet,

-"Mo

ce qui peut s'écrire

mais / est infiniment petit, et il reste

La différence F(^) — F(w') est donc constante et égale à Ai tout le long de aoL. Il en est de même pour les autres coupures.