II. — INTÉGRATION DES DIFFÉRENTIELLES TOTALES
Exemple. — L'intégrale curviligne
présente un seul point critique, l'origine. Pour avoir la période correspondante, intégrons le long du cercle x^ -^ y^ ^=^ ç'^ ] on a
a' = pcosa), ^ — psino), x dy - - y dx — '^^ ddi y
et la période est égale à l d(3y rz= 21t. La vérification est immédiate, car on a sous le signe / la différentielle totale de arc lang-«
154. Racines communes à deux équations. — Soient X, Y deux fonclions continues des variables a?, y y dans une région A limitée par un seul contour fermé C; nous supposons que les dérivées partielles du premier ordre sont aussi continues.
L'expression — ^^ .,j— satisfait à la condition d'intégrabilité, car
elle est la différentielle totale de arclang^- Il s'ensuit que l'intégrale
dé6nie
prise le long du contour C dans le sens direct, est nulle si les coefficients de dx ^X. àt dy sous le signe / restent continus à l'intérieur de C, c'està-dire si les deux courbes X — o, Y = o n'ont aucun point commun à l'intérieur de ce contour. Mais si ces deux courbes ont un certain nombre de points communs a^h^ c, . . . , l'intégrale (53) est égale à la somme des intégrales prises dans le sens direct le long des petites circonférences décrites des points a, 6, c, . . ., comme centres. Soient (a, P) les coordonnées d'un de ces points communs; nous supposerons qu'en ce point le déterminant
fonctionne] i^\ — ^ — n'est pas nul, c'est-à-dire que les deux courbes X = o,
Y = o ne sont pas tangentes en ce point. Nous pouvons alors décrire du point (oc, P) comme centre un cercle c de rayon assez petit pour que le point X, Y décrive autour du point (o, o) une petite portion de surface plane, limitée par un contour y» qui corresponde point par point au cercle c (n'^'âS et 127).
Lorsque le point {x, y) décrit la circonférence c dans le sens direct, le point (X, Y ) décrit le contour y dans le sens direct ou dans le sens rétro-
grade, suivant le signe du déternainant fonctionnel dans ce petit cercle. Or l'intégrale définie le long de la petite circonférence est égale à la varia-
lion de arc tang^' ^^ P^"* suite à ± -iir. En raisonnant de même pour toutes
les racines, on en conclut que l'on a
(54) / —xrryt—^''''^(^"^)>
P désignant le nombre des points communs au\ deux courbes pour
D(X Y) lesquels ^r^ — — est positif, et N le nombre des points communs pour
lesquels le déterminant est négatif.
L'intégrale définie du premier membre est aussi égale à la variation de
arc tang— le long de C, c'est-à-dire à l'indice de la fonction ^ lorsque le
point (x, ^} décrit le contour C. Si les fonctions X, Y sont des polynômes, et si le contour C est formé d'arcs de courbes unicursales, on est ramené à calculer l'indice d'une ou plusieurs fonctions rationnelles, ce qui n'exige que des opérations élémentaires ( n° 77). D'ailleurs, quelles que soient les fonctions X, Y, on peut toujours calculer l'intégrale définie (54) avec une erreur inférieure à tc, ce qui suffit, puisque le second membre doit être un multiple de iiz,
La formule (54) ne fait connaître le nombre exact des points communs aux deux courbes que si le déterminant fonctionnel conserve un signe constant à l'intérieur de C. Des travaux récents de M. Picard ont permis de compléter ce résultat (H.
155. Extension des résultats précédents. — Les résultats des derniers paragraphes s'étendent sans modification essentielle aux intégrales curvilignes dans l'espace
(55) {] ^. Pdx Qdy'+-Rdz,
'^(••'o.rcSo)
Nous désignerons par P, Q, R trois fonctions continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, dans une région (E) de l'espace, limitée par une seule surface fermée S. Cherchons d'abord les conditions pour que l'intégrale curviligne précédente ne dépende que des extrémités (oTo, ^o> -«o), (ar, j, z) de la ligne d'intégration. Cela revient encore à chercher dans quels cas l'intégrale curviligne, prise le long d'une courbe fermée quelconque T, est nulle. Or, d'après la formule de Stokes (n® 136), cette intégrale curviligne est égale à l'intégrale de surface
( • ) Traité d'Analyse, t. II.
