Même question pour l'intégrale multiple

étendue au domaine D défîni par les inégalités *7. Démontrer la formule

dxi dx^ . . , dXft =

l'intégrale multiple étant étendue au domaine D défini par l'inégalité

*8. Démontrer la formule f d^ I F(acos6 -+- 6 sinO cos<p -h csinÔ 8in<p)sin6 rf<p = 2ir / P(uR)^u,

où a, b, c sont des constantes quelconques et où Ton pose R = v^a*-H6*-+-c'.

[Poisson.] [On peut observer que l'intégrale double représente une certaine intégrale de surface étendue à la sphère a?* -h j^* H- >«• = i , et prendre le plan bx -h cy -^ az = o pour nouveau plan des xy,]

*9. Soit p = F(6, ç) Téquation d'une surface fermée en coordonnées polaires. Démontrer que le volume limité par cette surface est égal à Tintégrale double étendue à toute la surface

d<j étant l'élément d'aire, et y l'angle que fait le rayon vecteur avec la normale extérieure.

*10. Un ellipsoïde étant représenté par l'équation

{ji* "^ [i* — b^ [1^ — c* ~ *

définissons un point de sa surface par les coordonnées elliptiques v et p, c'est-à-dire par les racines de l'équation précédente où Ton aurait reibplacé (Ji par l'inconnue {voir n° 147). L'application des formules (29)' au volume de cet ellipsoïde conduit à la relation suivante :

L'application de la formule (a) donne de roême

•^0 Jf, /(6«— p*)(c«— p«)(v«--6»)(c« — V») a

[Lamé.]

11. Déterminer les fonctions P(ar, y)^ Q(a?, y), continues ainsi que leurs dérivées partielles, de telle façon que l'intégrale curviligne

V(x-r-<x,y-^^)dx-^ Q(ir -+- a, ^ -+- P) dy,

prise le long d'un contour fermé quelconque, soit indépendante des constantes oc, p et ne dépende que du contour lui-même.

[Licence : Paris, juillet 1900.]