I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉR\LES DES SÉRIES. - RÈGLES DE CONVERGENCE

156. Définitions et généralités. — Les propriétés élémentaires des séries sont exposées en détail dans tous les cours d'Algèbre. Nous en résumerons rapidement les points principaux.

Considérons d'abord une suite indéfinie de quantités

dont chacune occupe un rang déterminé; cette suite est dite co/i- ^ergente si 5„ tend vers une limite s lorsque le rang n augmente indéfiniment. Toute suite qui n'est pas convergente est dite dii^ergente; cela peut arriver soit que Sn finisse par rester supérieur à tout nombre donné à l'avance, soit que s„ ne tende vers aucune limite, sans augmenter indéfiniment.

Pour qu'une suite soit convergente, il faut et il suffit qu'à tout nombre positif s on puisse faire correspondre un nombre entier n tel que la différence Sn+p — Sn soit moindre que e en valeur absolue, quel que soit le nombre entier positif p,

La condition est nécessaire. En effet, si s,t a pour limite s lorsque n croît indéfiniment, on peut trouver un nombre n assez grand pour que toutes les différences s — .ç,,, s — Sn^^ , . . . ,

s — Sn^pf . • ., soient inférieures en valeur absolue à - • La différence Sn^p — Sfi sera donc moindre, quel que soit />, que 2 - = z.

Pour démontrer la réciproque, nous introduirons une nouvelle notion très importante, due à Cauchj. Supposons tous les termes G. a4

370 CHAPITnB VIII. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

de la suite (1) inférieurs en valeur absolue à un nombre positif N; tous les nombres compris entre — N et -t- N peuvent être séparés en deux classes de la façon suivante. Nous dirons qu^in nombre appartient à la classe A, s'il existe une infinité de ternies de la suite (i) supérieurs à ce nombre, et à la classe B, s'il n'existe qu'un nombre fini de termes de la suite (i) supérieurs à ce nombre. Il est clair qu'un nombre compris entre — N et + N appartient à l'une des deux classes, et que tout nombre de la classe A est inférieur à un nombre quelconque de la classe B. Soit S la limite supérieure des nombres de la classe A, qui est en même temps la limite inférieure des nombres de la classe B. C'est ce nombre S que Caucliy appelle la plus grande des limites (*) des termes de la suite (i). Il ne faut pas confondre S avec la limite supérieure des termes de la suite (1); ainsi, pour la suite

la limite supérieure (n® 68) est i, tandis que la plus grande des limites est o.

Il est facile de justifier le nom adopté par Cauchy. D'après la définition même du nombre S, il existe toujours une infinité de termes de la suite (i) compris entre S — e et S -f- s, aussi petit que soit le nombre positifs. Considérons alors une suite de nombres positifs décroissants Si, £2? • • • - ^ni . . . , le terme général £„ tendant vers zéro, et à chaque nombre £/ faisons correspondre un nombre a,- de la suite (i) compris entre S — £/ et S + £|. Nous obtenons ainsi une suite de nombres a,, a^, . . ., a;,, ... appartenant à la suite (1) et ajant pour limite S. D'ailleurs il est clair, d'après la façon même dont on a défini S, qu'on ne pourrait pas détacher de la suite (1) une suite partielle ayant pour limite un nombre su|)érieur à S. Lorsqu'une suite est convergente, la limite est évidemment le nombre S lui-même.

Cela posé, supposons que la dilTérence^/z^y, — s,i de deux termes de la suite (1) soit inférieure en valeur absolue à un nombre

(') lîésumés analytiques de Turin, i833 {Œuvres complètes, 2* série, t. X,

La dcfinilioD s'étend d'elle-même à tout ensemble de nombres limité supérieurement.