I. — PBOPRIÉTBS GÉNÉRALES DBS SÉRIES

et le second membre tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, aussi petit que soit le nombre positif {i. La série est donc divergente.

Supposons, par exemple, que --^- soit une fonction rationnelle de /i,

tendant vers l'unité lorsque n croit indéOniment,

Un ' nP-^ bxfiP-^ ■+- h^P-^ ~r . ..*

on peut aussi l'écrire, en effectuant la division et s'arrétant au terme

en —,

u„^t ay—bx o(n)

Un n n^

cp(/i) étant une fonction rationnelle de n qui tend vers une limite finie lorsque n croît indéfiniment. D'après le résultat qui précède, /?oa/* que la série soit convergente, il faut et il suffit que Von ait

Ce théorème est dû à Gauss, qui l'a démontré directement; c'est une des premières régies générales de convergence (*).

164. Séries absolument convergentes. — Occupons-nous maintenant des séries dont les termes peuvent avoir des signes quelconques. Lorsque à partir d'un rang assez élevé tous les termes ont le même signe, ce cas se ramène immédiatement au précédent. Il suffit donc d'étudier le cas où il y a dans la série une infinité de termes positifs et une infinité de termes négatifs. Nous allons d'abord démontrer la proposition suivante, qui est fondamentale :

Une série à termes quelconques est convergente lorsque la série formée par les valeurs absolues de ses termes est ellemême convergente.

Soient

(11) Mo-f- M1-I-. . .-^ W„-r-.. .

une série dont les termes peuvent avoir un signe quelconque et

(12) Uo-^ Ui-f-.. .-I- U„-f-...

(') Disquisitiones générales circa sérient injînitam 1 H x-\- {^Œuvres

complètes, t. III, p. i38. )

la série formée par les valeurs absolues des termes de la première, où Ton a posé U«= |w/i|. Si la série (12) est convergente il en est de même de la série (11); c'est une conséquence du théorème général de convergence, puisqu'on a

et que la seconde somme peut être rendue moindre que tout nombre donné, pourvu que Ton prenne le nombre n assez grand, le nombre/) restant arbitraire.

On peut encore s'en rendre compte autrement. Écrivons

Un={u,i-h Un) — U«,

et considérons la série auxiliaire dont le terme général est w„ H- Um

(i3) (ao-f-Uo)-h(wi-+- U,)-H...-4-(a„-+-U„)-i-...;

S,/, S^^, S', désignant respectivement les sommes des n premiers termes des séries (i 1), (12) et (i3), on a évidemment

Or la série (12) est convergente par hypothèse; il en est de même de la série (i3) qui n'a aucun terme négatif et dont le terme général est au plus égal à 2 U„. Les sommes S),, SJ^, et par suite S^. tendent donc vers des limites lorsque n augmente indéfiniment, c'est-à-dire que la série proposée (11) est convergente. On voit de plus que cette série peut être considérée comme provenant de la soustraction terme à terme de deux séries convergentes à termes positifs.

Toute série, telle que les valeurs absolues de ses termes forment une série convergente, est dite absolument convergente. On peut, dans une pareille série, modifier l'ordre des termes d'une façon arbitraire sans changer la somme de cette série. Considérons d'abord une série convergente à termes positifs, de somme S,

(i4) ao-h ai H-. . .-h a„-f-. . .

et soit

(i5) ^>o-H ^i-H...H-6rt-i-...

une autre série ayant les mêmes termes que la première, rangés dans un ordre différent, de telle façon que chaque terme de la