I. — PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES séRIES

Pour démontrer la première parlie, supposons que, pour toutes les valeurs de n supérieures à un nombre py on ait ^n logn >/:>!. Soit [x un nombre tel que i < fji < /:. La convergence de la série sera établie si. à partir d'un certain rang, on a

^^^ Uu ^ n-i l\o^{n-i)\

ce qui peut s'écrire

n n \ n/ l logn J

ou, en appliquant la formule de Taylor au second membre,

n n \ nj \ log/i [ ^^S^ J /

'km restant inférieur en valeur absolue à un nombre fixe lorsque n croît iodéûniment. Cette inégalité devient, en simplifiant,

).„,„+,)riog(,-i)]'

crie produit (n -+- i) log (in — la pour limite l'unité lorsque n augmente indéfiniment, car on peut l'écrire, d'après la formule de Taylor,

(« + ,)log(,-^-) = .-..;-(. + e),

t tendant vers zéro. Le second membre de l'inégalité précédente a donc pour limite jx, et l'inégalité est assurée à partir d'un certain rang, puisque le premier membre est supérieur à un nombre X* > |ji.

On démontre de même la seconde partie en comparant le rapport 2±1

au rapport de deu\ termes consécutifs de la série dont le terme général

est — i . L'inégalité

nlogn

peut s'écrire

Ur,^\ ^ n lo;;/i

Un ^ n-r-l log {U-hl)

P«log/i<(/î -T-i)log( i^ y\;

388 CHAPITRE VllI. — DEVELOPPEMENTS EN séftlES.

or le second membre tend vers Tunité par valeurs supérieures à Tunité, comme le montre la formule (lo). L'inégalité est donc assurée, à partir d'un certain rang, puisque le premier membre ne dépasse pas Tunité.

De la proposition précédente on déduit encore, comme corollaire, que, si le produit p^logn tend vers une limite /, lorsque n croit indéfiniment, la série est convergente si / > i , et divergente si / < i. Il y a doute pour / = I, sauf dans le cas où le produit p^logn reste toujours inférieur à un; la série est alors divergente.

Lorsque p^logn tend vers l'unité en lui restant supérieur, on écrira de même

n /ilog/i

fn tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. On aura des énoncés tout pareils aux précédents en considérant le produit "^n^o^^n^ et ainsi de suite.

Corollaire, — Lorsque, dans une série à termes positifs, le rapport d'un terme au précédent est de la forme

Un n ni-^\>'

jx étant un nombre positif, r étant constant, et la valeur absolue de H^ restant inférieure à un nombre fixe lorsque n croît indéfiniment, la série est convergente sir est plus grand que un, et divergente dans tous les autres cas.

Si nous posons

noL

Un+l Un

on a, en effet,

nV-

r Un n n^^V-

et par suite lim na,, = r, La série est donc convergente si r > i et divergente si r<i. Le seul cas douteux est celui où r= i. Pour lever l'ambiguïté, posons

il vient

n\»- ?n logn n