I. -< PBOPRIÊTBS GÉNÉRALES DBS SÉRIES. SgS
dont la somme est évidemment la limite de l'expression
^aà \j.n -r- l '2 /l -r- 2 /
lorsque m augmente indéflniment. Écrivons les termes de cette série dans un autre ordre, en faisant suivre chaque terme positif
de deux termes négatifs,
u 4 3 6 « " a/i-+-i ^n-hi 4^*^-4
on démontre aisément, en considérant les sommes Ss,,, Sj^^.!, ^3/1+21 qwc cette nouvelle série est convergente. Elle a pour somme la limite de l'expression
lorsque m augmente indéfiniment. Mais on a
a/i-t-i :^n -^ 2. 4"~+~4 2 \in ~r-i 2/1-^2/
et, par conséquent, la somme de la seconde série est égale à la moitié de la somme de la première.
D'une façon générale, étant donnée une série qui est convergente sans l'être absolument, on peut ranj^er les termes de cette série dans un ordre tel que la nouvelle séiie soit convergente et ait pour somme un nombre quelconque A donné à l'avance. Désignons par Sp la somme des p premiers termes positifs de cette série, par SJ, la somme des valeurs absolues des q premiers termes négatifs; la somme des/? -+- q premiers termes est évidemment Sp — S'q. Lorsque les deux nombres/? et q augmentent indé- Gniment, il doit en être de même des deux sommes Sp et S'^, sans quoi la série serait divergente ou absolument convergente. D'autre part, la série étant convergente, le terme général doit tendre vers zéro.
Cela posé, nous formerons une nouvelle série ayant pour somme A de la manière suivante : Prenons les termes positifs de la série proposée dans l'ordre où ils se présentent jusqu'à ce que leur somme soit supérieure à A; écrivons à leur suite les premiers termes négatifs dans l'ordre où ils se présentent, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est inférieure à A; écrivons ensuite les termes positifs en commençant par le premier des termes négligés, et arrêtons-nous dès que la somme des termes écrits est supérieure à A, puis reprenons les termes négatifs, et ainsi de»
suite. Il est visible que les sommes des termes de cette nouvelle série sont tantôt plus grandes et tantôt plus petites que A, mais qu^ellcs diffèrent de A d'une quantité qui décroît indéHniment.
466. Règle d'Abel. — On doit à Abel un théorème permettant de reconnaître la convergence de certaines séries, qui échappent aux régies précédentes. La démonstration repose sur un lemme dont on s'est déjà servi (n* 75).
Soit
Mo -H Mi -^ . . . -f- M/t -4- . . .
une série convergente ou indéterminée (c'est-à-dire telle que la somme des n premiers termes soit toujours moindre en valeur absolue qu'un nombre fixe A); soit, d'autre part,
ÊO» Si» •••! £/»> •••
une suite dénombres positifs, dont chacun est plus petit que le précédent et tels que Wmzn ~ o, pour n = oo. Gela posé, la série
(17) £0 Mo -^ 6i W I -^ . . . -+- £/! M„ -+ . . .
est convergente^ sous les conditions énoncées.
Il résulte en effet des hypothèses que Ton a, quels que soient les nombres n et/?,
|m„-hi-+- -hUn+p\ < 2 A,
et, par suite, d'après le lemme rappelé tout à l'heure,
I W//-+-1 2/1-+-! -h . . . -r- Un-hp tn-hp | < 2 A £„^.| ;
puisque in-h\ tend vers zéro lorsque n augmente indéfiniment, on peut prendre n assez grand pour que la valeur absolue de la somme
soit moindre que tout nombre donné à l'avance, quel que soit p, La série (17) est donc convergente, en vertu du théorème générai (n* 157). Lorsque la série Wo-h Mi -+-. . .-h Un-r-. . . se réduit à la série
i — i-hi — i-f-i — I ...
dont les termes sont alternativement -f- 1 et -i, la proposition précédente se réduit au théorème rappelé plus haut, concernant les séries alternées.
Voici un autre exemple. La série
sinO -+- 5in2 6 -+- sin36 -h.. .-+- sinnO h-.. .
est convergente ou indéterminée. Lorsque sin8=o, la série a tous ses termes nuls; lorsque sinô^o, la somme des n premiers termes est égale,
