I. — PROPRIÉTÉS OBNÉRALES DES SÉRIES. SqS

d'après une formule de Trigonométrie, à

sin-- , .

«in *

sin '

et par conséquent est moindre en valeur absolue que .

que la série

sin 6 sin2Ô sinnO

sin-

• On en conclut

est convergente, pour toute valeur de 8, et l'on démontre de la même façon que la série

rosB ros^O cosnO

€51 convergente, sauf pour 8 — iAtz.

Corollaire. — On peut énoncer une propriété plus générale, en se bornant aux séries convergentes. Soient

Uq -T- ii| -*-... -t- u,, -i- .. .

une série convergente, et

EO» £|» • • -i £/»> • • •

une suite de nombres positifs, allant toujours en croissant ou en décroissant, et tendant vers une limite k, différente de zéro, lorsque n augmente indéfmiment, la série

(l8j 6oMo -T- £i Wi". . .-r^ EnMn-4 . . .

est aussi convergente.

Supposons, pour fixer les idées, que les nombres e/ aillent en croissant; nous pouvons écrire

tQ=rz A' — Œo, El =: A' aj, ..., t^ = k 2,1, ...,

et les nombres a©, «i, ..., a„, ... forment une suite de nombres positifs décroissants, a^ tendant vers zéro lorsque n croît indéfiniment. Les deux, séries

ao Mo -T- «1 Wi -i- . . . -H a^ Wrt H- . . .

sont l'une et l'autre convergentes et, par suite, il en est de même de la série (i8).