SÉaiES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES

Vq-t-' "-h ^/i-i, i'o-i-- • --f- ^/i-2> • • •? ^0 par B. Il vient alors

' ^ ; < ^ « :c^ -- ^ ^ ri-B -^ • - ^ " - » r-^ B

-h L«-K, B -+- U„^., B -^ . . .-h U,„B, ou encore

^ B(U.^, . . . ^ U,„) <. -^-^ -^ ^^^, ou enfin |o] < e. La difl'érence o a donc zéro pour limile.

169. Séries doubles. — Considérons un échiquier rectangulaire qui serait limité en haut et à gauche, mais qui se prolongerait indéfiniment en bas et à droite. Cet échiquier contient une infinité de colonnes verticales, qui seront numérotées de o à -|- oc, et une infinité de files horizontales qui seront numérotées également de o à -h 00. Concevons maintenant qu'à chaque case de cet échiquier on fasse correspondre un nombre qui sera inscrit dans la case correspondante; soit a^ le nombre correspondant à la case qui est située dans la file de rang i et dans la colonne de rang A'.

Nous obtenons ainsi un tableau disposé comme le suivant

«Oî ..

«on . . .

«Il

«lî ..

«mO

«ml

«mî ..

Nous supposerons d'abord que tous les termes de ce tableau sont réels et positifs.

Imaginons maintenant une suite de courbes C| , Co, . . . , C^, . . . , s'éloignant indéfiniment dans toutes les directions et formant, avec les deux droites qui limitent le tableau, une suite de courbes fermées s'enveloppant mutuellement. Soient S|, Sa, . . . , S„, . . ., les sommes des termes du tableau qui sont à l'intérieur de ces courbes fermées. Si la somme S^ tend vers une limite S lorsque n

augmente indéfiniment, on dit que la série double

est convergente et a pour somme S. Pour justifier celte définition, il est indispensable de démontrer que la limite S est indépendante de la forme des courbes C. Imaginons, en efiet, une autre suite de

courbes s'éloignant indéfiniment dans tous les sens, C'^, (V^^

C^, . . . , et soient S, , S^, . . . , S^, ... les sommes correspondantes. Le nombre m étant fixé, on peut toujours choisir le nombre n assez grand pour que la courbe C^ soit tout entière à l'extérieur de C'^, ; on a donc S',,^<; S,, et, par suite, S'^-< S, quel que soit m. Or cette somme S'^, croît avec Tindice; elle tend donc vers une limite S'$ S. On démontrera de la même façon que Ton a aussi S ^ S' ; par suite S' = S.

On pourra prendre, par exemple, pour former les courbes Q les deux côtés d'un carré dont le côté augmente indéfiniment, ou des droites également inclinées sur les deux côtés de l'échiquier; les sommes correspondantes seront les suivantes

aoo-+-(aio— ai 1 H- «01 )-^«"-+-(«/io -+-«/*! -+-•••-!- cinn-h a/i-i,rt-r-...-f-aofl), «00 -+-(«10+ «oi)-+-(«îoH- «11-+- aot)-r-. . .-+-( ano-i- «/t-i,i-+-. • .-+- «0/1 );

si Tune de ces sommes tend vers une limite lorsque n croît indéfiniment, il en est de même de la seconde et ces limites sont égales. On peut aussi faire la somme du tableau par lignes ou par colonnes. Supposons en effet que la série double (27) soit convergente, et soit S la somme. Il est clair que la somme d'un nombre quelconque de termes du tableau est inférieure à S, et il en résulte que toutes les séries telles que

(28) a/o-i- «/i-H...-ha/;;-+-... (« = o, 1,2, ...},

obtenues en prenant les termes d'une file horizontale sont convergentes, car la somme

est toujours inférieure à S et va en croissant avec n.

Soient <To> ^J*!? • • •-. ^ô ... les sommes des diverses séries con-