Multiplication des séries. — Soient

deux séries à termes quelconques. Multiplions de toutes les manières possibles un terme de la première série par un terme de la seconde, et groupons ensemble tous les produits Ui\'j pour lesquels la somme i-\-j des indices est la même; nous obtenons ainsi une nouvelle série

ex \ UiiVQ-^{UQVx-^ ^\VQ)-i- (ltQV<i-h UiVx-^ ^ft^o)-^'"

Lorsque les deux séries (2.S) et (24) sont absolument convergentes, la série (25) est aussi convergente et a pour somme le produit des sommes des deux premières. Ce théorème, dû à Cauchy,

a été généralisé par M. Mertens (*), qui a montré qu'il était encore vrai, pourvu qu'une seule des deux séries (aS) et (24) fût absolument convergente, la seconde pouvant être simplement convergente.

Supposons, pour fixer les idées, que la série (23) soit absolument convergente, et soit Wn le terme général de la série (aS)

Pour démontrer la proposition, il suffit de faire voir que les deux différences

.-hWin .^(uo-hUi-h.

.-HM«) (PoH-t'l-^-.

tvo-f- iViH-.

.-I-m',«+i--(mo-+- W|-^.

..-h an-Ki)(^oH-t'|-H.

. .-Ht'/i+l),

tendent vers zéro, lorsque n croît indéfiniment. La démonstration étant la même dans les deux cas, considérons la première dilFérence, que nous pouvons écrire, en ordonnant par rapport aux w/,

-h Un-^i (t'o-H- . . . -»- ^n-l ) -+- Un^ii Vo-i-...h P„, ) -t- ...-»- M,„f^o.

La série (aS) étant absolument convergente, la somme

reste inférieure, quel que soit /?, à un nombre positif fixe A; de même, la série (24) étant convergente, le module de la somme i'o 4" ^*i + • • • + ^/i reste inférieur, quel que soit /?, à un nombre positif fixe B. Gela posé, e étant un nombre positif quelconque donné à l'avance, nous pouvons choisir un nombre positif /n assez grand pour que l'on ait

Un^-1-h...-h U„+p< ^^ ^>

quel que soit le nombre /?, pourvu que n^m. Le nombre n étant choisi de cette façon, on aura une limite supérieure du module de 8 en remplaçant Wo, /^i, W2, . . , U2n parU©, Ui, . . ., Uj^ respectivement, puis r«^.| -i- ç„^2 + . . . H- ^/i+p par . ^ et enfin

(*) Journal de Crelle^ t. 79.