II. — séRIES A TERMES IMAGINAIRES. — SÉRIES MULTIPLES. 4o

entières, positives et négatives, telles que le point (m, n) soit extérieur à F. Dans ces conditions, la série double est convergente lorsque l^ intégrale double a une limite, et inversement. Les parallèles aux axes de coordonnées j: = o, n i , ziz 2, . . . , et r 7-^ o, zt 1, zh 2, . . . , décomposent Taire comprise entre les deux courbes C et F en un certain nombre de carrés et de portions irrégulières. Si nous prenons dans chacun des carrés le sommet le plus éloigné de Forigine, il est clair que la somme S/(m, n) correspondante sera inférieure à Finlégrale double / I /{x,y)dx dy,

étendue à Faire comprise entre C et F. Si celle intégrale double tend vers une limite S, lorsque la courbe C s'éloigne indéfiniment, il suit de là que la somme d'un nombre quelconque de termes de la série double esl toujours moindre qu'un nombre fixe; cette série est donc convergente. On voit de la môme façon que, si la série double esl convergente, l'intégrale double est toujours moindre qu'un nombre fixe; celte intégrale tend donc vers une limite. Le théorème s'étend à une série multiple à p indices, sous «les hypothèses convenables; le terme de comparaison esl alors une intégrale multiple d'ordre />.

Par exemple, la série double dont le terme général est — r — - »

les indices m et n prenant toutes les valeurs entières de — 00 à -i- oc, sauf 772 : - n ^^ o^ est convergente si |jl > 1 , et divergente si ;JL'J I . Car l'intégrale double

étendue à la portion du plan extérieure à un cercle concentrique à l'origine, a une valeur finie si [jl >► i et augmente indéfiniment si ti i (n« 133).

Plus généralement, la série multiple dont le terme général est

( //* 5 -+- /n| H- . . . -T- mp )V-

la combinaison mi^= m^-^ - - ^^ mp= o étant exclue, est convergente si l'on a 2 p. >- ^ ( ' ).

C) On trouvera des propositions plus générales dans le Traité d'Analyse de M. Jordan, lome I; p. i63.

4o6 CHAPITRE Vlll. — DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES.

m. - SÉRIES A TERMES VARIABLES. — SÉRIES UNIFORMÉMENT CONVERGENTES.