Déûnition de la convergence uniforme. — Une série

(35) Uo{x)-^ ui(x)-i-..,-hUn{x)-^.,,

dont les termes sont des fonctions continues d'une variable ^dans un intervalle (a, 6), et qui est convergenle pour toute valeur dex comprise dans cet intervalle, ne représente pas nécessairemenl une fonction continue de cette variable, comme on serait tenté de le croire. Il suffit, pour s'en convaincre, de reprendre la série (voir n° 4).

dont la somme est disconlinue pour a: = o. Comme un grand nombre de fonctions se présentent en Anal}'se sous forme de séries, on a dû étudier les propriétés des fonctions représentées de cette façon et la première question qui se présente est précisément de chercher à reconnaître si la somme d'une série est une fonction continue d'une variable. Quoiqu'on ne possède pas de solution générale de ce problème, son étude a conduit à une notion extrêmement importante, celle de la convergence uniforme.

On dit qu'une série, telle que (35), est uniformément conçergente dans un intervalle (a, b) si à tout nombre positifs on peut faire correspondre un nombre entier positif n tel que la valeur absolue du reste R,/ de cette série

R«= Un{x)-^. ..-h Un^p{x) -f- . . .

soit moindre que e pour toutes les valeurs de x comprises dans l'intervalle (a, 6). La condition que le nombre n, qui correspond à une valeur donnée de e, soit le même pour toutes les valeurs de X de Tintervalle (a, 6), est essentielle dans cette définition. Pour chaque valeur de x appartenant à cet intervalle, il est certain qu'il existe un nombre entier n satisfaisant à la condition que Kn soit moindre que e, mais rien ne prouve a priori que^ pour une valeur donnée de n, aussi grande qu'on la suppose, le reste Ru