Région de conYergence. — Considérons d'abord une série

(I) Ao— AiX-+-A,X* - ... -A„X''--...

où tous les coefficients Aq, A|, A2, . . ., sont positifs, et où l'on n'attribue à la variable indépendante X que des valeurs positives. 11 est clair que tous les termes de cette série vont en croissant avec X; si la série est convergente pour une valeur particulière X = X|, elle est a fortiori convergente pour toute valeur de X inférieure à X,. De même, si la série est divergente pour la valeur X2, elle est certainement divergente pour toute \aleur de X supérieure à Xj. Cela posé, plusieurs cas peuvent se présenter : i"* Il peut se faire que la série (1) soit convergente, quelle que soit la valeur de la variable X ; telle est la série

2" Il peut aussi arriver que la série (i) soit toujours divergente, quel que soit X, sauf pour X =^ o; telle est la série

3" Supposons enfin que la série proposée soit tantôt convergente, tantôt divergente. Soient X| une valeur de X rendant la série convergente, et X2 une valeur de X rendant la série divergente. D'après la remarque de tout à l'heure, on a X| <C X2, la série est convergente si X<<X|, et divergente si X >> X2. Il n'y a doute que pour les valeurs de X comprises entre X| et X2. Mais toutes les valeurs de X qui rendent la série convergente sont inférieures à X2 ; soit R leur limite supérieure. Comme tou tes les valeurs de X qui rendent la série divergente sont supérieures à l'une quelconque des valeurs de X qui rendent la série convergente, ce nombre R est aussi la limite inférieure des valeurs de X qui rendent la série divergente. La série (i) est donc convergente pour toutes les valeurs positives de X inférieures à R, et divergente pour toutes les valeurs de X supérieures à R. Pour X ^^ R, la série peut être convergente ou divergente.

Ainsi, la série

est convergente si X <C 1 , et divergente si X 5 1 ; on a R =:: 1 .

Remarquons que le dernier cas examiné renferme les deux autres comme cas limites ; on les obtient en supposant R infini, ou R = 0.

Considérons maintenant une série entière

(2) a^-h axx -^ a^x^'^. . .-^ anX'^~' .

OÙ les coefficients a/ et la variable x peuvent avoir des signes quelconques. Nous poserons dorénavant A|= |<2/|, X=::r[^|, de façon que la série (1) sera formée par les valeurs absolues des termes de la série (2). Soit R le nombre qui vient d'être déOni pour cette série (1); il est évident que la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre — R et 4-R* d'après la définition même du nombre R. Il nous reste à montrer que la série (2) est divergente lorsque la valeur absolue de or est supérieure à R. C'est ce qui résulte de la proposition fondamentale d'Abel ( ' ) : Si la série (2) est convergente pour une valeur particulière Xo, elle est absolument convergente pour toute valeur de x, dont la valeur absolue est inférieure à (xo|.

. ^ , , , . • ff^ m ( m - 1 ) ,

( ' ) Becherche sur la série n x -+- — - x^-h —