I. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

En effel, la série (2) étant supposée convergente pour x = x^^ désignons par M un nombre positif supérieur au module de l'un quelconque des termes de cette série, de telle sorte que Ton ait, quel que soil le nombre n,

A„kol«<M.

Nous pouvons écrire

A«X'»= A„|jro

la série (i) est donc convergente si Ton suppose X << |.To[, ce qui démontre la proposition énoncée.

Cela posé, si la série (2) est convergente pour j; = a^o, on voit que la série des modules (i) sera convergente pourvu que X soit inférieur à \xq\. On ne peut donc avoir |a:o| >> R, car alors le nombre R ne serait pas la limite supérieure des valeurs de X qui rendent convergente la série (1).

En résumé, étant donnée une série entière (2) 011 les coefficients ont des signes quelconques, il existe un nombre positif R possédant la propriété suivante : la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de x comprise entre — R e^ 4- R? et divergente pour toute valeur de x supérieure à R e/i valeur absolue. L'inlervalle ( — R, -f-R) s'appellera la région de convergence; cette région s'étend de — 00 à -h 00 dans le cas limite où R est infini. Elle se réduit à l'origine si R = o ; nous laisserons de côté, dans la suite, ce cas parliculier.

La démonstration ne nous apprend rien sur ce qui arrive pour les valeurs limites ;r = R, a? = — R. La série (2) peut être absolument convergente, simplement convergente, ou divergente.

Considérons, par exemple, les trois séries

on a, pour ces trois séries, R r= i , car le rapport d'un terme au précédent a pour limite x, La première série est divergente pour ar= ±: I, la deuxième est divergente pour ^c 1= i et convergente

4i2 CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

pour x= — i; la troisième est absolument convergente pour x=- ±1.

Remarque. — L'énoncé de la proposition d'Abel peut être généralisé; il suffit, en effet, pour la suite du raisonnement, de supposer que la valeur absolue d'un terme quelconque de la série

reste inférieure à un nombre fixe. Lorsqu'il en est ainsi» la série (2) est absolument convergente pour toute valeur de la variable dont la valeur absolue est inférieure à | o:©!-

Le nombre R est lié par une relation très simple au nombre ^ défini plus haut (n^ 160), qui est la plus grande des limites des termes de ia suite

Ai, v^A,, v^Vj, ..., yXn,

En effet, si l'on considère la suite analogue

AiX, î/Â7x^ v/a;:x«, ....

il est clair que la plus grande des limites des termes de cette suite sera wX. La suite (1) est donc convergente, si l'on a X < — > et divergente si X > -;

par conséquent R = — (^).

178. Continuité d'une série entière. — Désignons par f{x) la somme d'une série entière convergente dans l'intervalle de — R à-4-R,

(3) f{x)— a^-^ a^x-^-. ..-\-anX'^-^.,,

et soit R' un nombre positif inférieur à R. Nous allons d'abord montrer que la série (3) est uniformément convergente dans l'intervalle de — R' à -I- R'. En effet, pour une valeur de x, moindre que R' en valeur absolue, le reste R^

R« = an^i a7«-^> -H . . . -^ an-^pX»^P -f- . . .

est inférieur en valeur absolue au reste correspondant de la

( ' ) Ce théorème a été démontré par Cauchy dans son Cours d'Analyse; il * été retrouvé par M. Hadamard dans sa Thèse.

série (i)

SBRIKS ENTIÈRKS A INE VARIABLE. 4^3

or la série (i) élant convergente pour X .= R^ puisque R'<cR, on peut prendre le nombre n assez grand pour que le reste précédent' soit plus petit qu'un nombre positif donné s. On aura donc |R„| <C e, pourvu que Ton ait x\ <C R'.

Il suit de là que la somme f{x) de la série est une fonction continue de x, pour toute valeur de la variable comprise entre — R e/ -f- R. En effet, étant donné un nombre Xq^ plus petit que R en valeur absolue, il est évident qu'on peut trouver un autre nombre positif R', inférieur à R, et supérieur à \xo\. D'après ce qu'on vient de voir, la série est uniformément convergente dans rinlervalle de — R' à -f- R'; la somme f{x) est donc continue pour la valeur x^ qui appartient à cet intervalle.

La démonstration ne s'applique plus aux limites - R et — R de la région de convergence. La continuité subsiste cependant, pourvu que la série soit convergente. Abel a démontré en effet que si la série ('^) est convergente pour x - R, la somme de cette série est la limite vers laquelle tend la somme de la série f{x) lorsque x tend vers R en étant inférieur à R.

Désignons par S la somme de la série convergente

S — a^ — «1 K -r- ti, R2 - ... - (tu H" " . . .

et soit n un nombre entier tel que la valeur absolue de l'une quelconque des sommes

a„ ^, R«-^«, an+x R"-^' -^ a,,^ j R" -^

soit inférieure à un nombre positif donné e. En posant x = RO, et faisant croître 9 de o à i , x croîtra de o à R, et Ton aura

f{x) r=/(eRj - «0 -rtiOR -i-^/.02R2 . .. rt„0''R" -+-...;

nous pouvons écrire, le nombre n avant élé clioisi comme il vient d'être Jit,

/ ^—f{x) -«,R(i — 0)-r-rt,R?(i- -rj2) — ...-i-a«R"(i — 0«) (4) ^r/„^,R«-> ... i-./,^pR«-^/^-+ . ..

D'après la façon dont on a pris le nombre /i, la somme de la série qui est sur la deuxième ligne est plus petite que e en valeur absolue. D'un autre côté, les nombres 8'*+«, h"+^, ..., ^''-^p forment une suite décroissante; on a donc, d'après le lemme d'Abel déjà employé (n° 75),

I a„^i e«+» R«-»-» -^ . . . -^ a«^.pe«-»-/' R«+/' | < 0«-^» s < e

et, par conséquent, la somme de la série qui est sur la troisième ligne est aussi inférieure à e en valeur absolue. Considérons maintenant la première ligne de la formule (4); c'est un poljnome de degré n en 0 qui est nul pour 0 = 1. On peut donc trouver un autre nombre positif Ti, tel que la valeur absolue de ce polynôme soit moindre que e pourvu que 6 soit compris entre i — r, et l'unité. Pour toutes ces valeurs de 9, on a, par conséquent,

or e est un nombre positif arbitraire '* f{x) a donc pour limite S lorsque x tend vers R.

On voit de la même façon que, si la série (3) est convergente pour X = — R, la somme de cette série pour ^ r=r — R est la limite vers laquelle tend la somme/(ji;) lorsque x tend vers — R Il suffit du reste de changer x en — x pour être ramené au premier cas.

Application» — Cette proposition permet de compléter le théorène établi plus haut (n** 168) sur la multiplication de deux séries. Soient

(5) S = Mo-i- Mt -h aj-f-.. .-h Mrt-i-. . .,

(6) S'= i>o -H ^1 -^^j-H. . .H- ^'/tH-. .•

deux séries convergentes, dont aucune n'est absolument convergente, la série obtenue par la règle de multiplication

(7) Moi'o-^ ("o ^1-1- "it'o)-^. • •-^- (wo^« -!-•.•-+- "««'o)-»-.. .

peut être convergente ou divergente; mais, si elle est convergerie, sa somme 2 est égale au produit des sommes des deux premières séries, 2 = SS'. Considérons, en effet, les trois séries entières

f{x) — Uq -+- M|a? H-. . .-+- M„a:'»-+-. ...

(q(^x) — Vq-^ Ç^X -h. .-+- frtiC'» -h. . .,