I. — SÉRIES ENTIÈRES A UNE VARIABLE

ces séries sont convergentes, par hypothèse, pour a:* = i, et, par suite, sont absolument convergentes lorsque ùc est compris entre — i et -ht. Pour ces valeurs de x^ le théorème de Cauchy sur la multiplication des séries est applicable et nous donne la relation

or, lorsque x tend vers runité,/(j:), <p(x), ^{x) ont respectivement pour limites, d'après le théorème d'Abel, S, S' et 21. Les deux membres de la formule (8) restant constamment égaux, on a donc, à la limite, 21 = SS'. Le théorème est encore vrai pour les séries à termes imaginaires et s'établit de la même façon.

179. Dérivées successives d'une série entière. — En difTérentianl terme à terme une série entière

convergente dans Finlervalle ( R, -h K), on obtient une nouvelle série entière

(9) ai H- aajx -i. . . t- nGr«:r«-' -+-. . .,

qui est convergente dans le même intervalle. Il suffit, pour le prouver, de montrer que la série des valeurs absolues

Ai~ aAjX -h. . . ^ /lArtX"-*-»-. . .

est convergente si X < R, et divergente si X > R.

Pour démontrer la première j)artie, supposons X <C R, et soil R' un nombre compris entre X et R, X<< R'<R. La série auxiliaire

est convergente, car le rapport d'un terme au précédent a pour

limite un nombre ^, inférieur à Tunité. En multipliant les différents termes de cette série par les facteurs

A,R', AjR», ..., A„R'«

qui sont tous plus petits qu'un nombre fixe, puisque R' <C. R, il est évident que la nouvelle série obtenue

A, — 2A2X -h. . . - /iA„X"-»-+-. . .

est encore convergente.

4'i6 CHAMITRK l\. - SÈKIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUES.

La seconde parlie se démontre de même. Si la série Al-!- 9.AsXiH-. . .-h nA„\'l * -h. . .,

où X, est supérieur à R, était convergente, il en serait de même

de la série

A,X,-+-7.A,Xî-i ...-4-/iA,,Xï-f-...

et par suite de la série \^A„X" qui a ses termes plus petits que

ceux de la précédente. Le nombre R ne serait donc pas la limite supérieure des valeurs de X qui rendent la série (i) convergente. La somme/, (a:) de la série entière (9) est une fonction continue de la variable dans le même intervalle. Cette série étant uniformément convergente dans tout intervalle ( — R', -I- R'), où R'<; R, représente la dérivée de/{x) dans cet intervalle (n° 174). Comme le nombre R' peut être pris aussi rapproché de R qu'on le veut, on en conclut que la fonction /{x) admet, pour toute valeur de x comprise entre — R et -r R, une dérivée qui est représentée par la série obtenue en diflérentiant terme à terme

(10) f'(x) = ai-h 2.aiX-+-. . .^ nanX'^~^~ ' • ••

En raisonnant sur cette série entière comme on a raisonné sur la première, on en conclut que /(a;) admet une dérivée seconde

/"{x) — 2aj-!- 6asa7 H-. . .4- /i(/i —\)anX'^^^-^ ....

et ainsi de suite. La fonction f{x) admet, dans l'intervalle ^^ — R, -h R), une suite illimitée de dérivées qui sont représentées par les séries obtenues en différentiant terme à terme

(i 1) f^'^K^) — 1.2... na„ -h 2.3. . . n(/i -f- i)a,n-iar --....

Si l'on fait dans ces formules j; :== o, il vient

et, d'une manière générale,

an - -

de sorte que le développement de /{x) est identique au dév^*^P