I. — SÉRIES ENTIÈRES A LNE VARIABLE

formule qui est valable pour toute valeur de x comprise entre — i et +- I . En intégrant les deux membres entre les limites o et:r, où \x <i\^ on obtient le développement de arc %\ï\x :

X I .r' i.*i^5 I .'i. ). . . C >/i — I) ;r»'»^' arc smar = h -— -r- —, -r . . . -^ - -- . — h

1 80. Extension de la formule de Taylor. — Soient/(j:) la somme d'une série entière convergente dans l'intervalle ( — R, -i- R), x^ un point de cet intervalle, et a:© -h A un autre point du même intervalle, tel que |xo|-4-|A|<C R- La série qui a pour somme /(j:© -H A)

ao-+- at(a'o-+- A) -h ai(j:o-4- A)'-^-. . .-^- a^Ca:*©-^ h^-^- . . .

peut être remplacée par une série à double entrée, que Ton obtient en développant les diverses puissances de jr©-}- A et écrivant sur une même ligne les termes de même degré en h

a^-\- axXçi-^ axxl -\- axh -r- lUtXQh-

• ajA*

...-^UnX'i^^

..,-fna„x'i

Cette série à double entrée est absolument convergente; en effet, si l'on remplace chaque terme par sa valeur absolue, on a la nouvelle série à double entrée et à termes positifs