I -+-A,|A1 -h2A,|a:o||A|-f-...-+-nA«|j:o|«-M/n

Si Ton fait la somme des éléments de ce tableau par colonnes verticales, on obtient la série

Ao-+-A,[l:ro|-+-|A|J-f-...-f-A;,[>o|-H |A|J«-^...

qui est convergente puisqu'on suppose \Xq\ h-|A|<:;R. On peut donc faire la somme des éléments du tableau (12), soit par lignes, soit par colonnes. En faisant la somme par colonnes, on retrouve/(a:© -f- A); en faisant la somme par lignes horizontales, le résultat est ordonné suivant les puissances de h et les coefTicients

43o CHAPITRE IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOMÉTRIQUBS.

de A, A^, . . . sont respectivement /'(^o), "^ > Nous pou-

vons donc écrire, en supposant \h\ <] R — |^o|)

(I4) /(^o-^A)=/(^o)--Y/'(^o)-H...-t-^-^^/<«>(Xo)--....

La formule (i4) s'applique certainement dans l'intervalle de ^0 — R -i-|^o| à a^oH- R — I^o|î maïs il peut se faire que la série qui est au second membre soit convergente dans un intervalle plus étendu. Considérons par exemple la fonction (i -H :r)'", où m n'est pas un nombre entier positif; le développement suivant les puissances de x est valable de ^ = — i jusqu'à x = H- i . Soit Xo une valeur de x comprise dans cet intervalle, nous pouvons écrire

(i-h ar)'« = ( I -T- a^o -4- ar — :ro )'" = (» -^^ -To)'" [i + -3 ]'",

OÙ

et développer (i + ^)'» suivant les puissances de z. Ce nouveau développement sera valable pourvu que \z\ <[ i, c'est-à-dire poui les valeurs de x comprises entre — i et i -j- 20:0. Si a:© est positif, le nouvel intervalle est plus grand que le premier ( — 1, -f- i)et, par conséquent, la nouvelle formule permettra de calculer la valeur de la fonction pour des valeurs de la variable situées en dehors de l'intervalle primitif. En approfondissant cette remarque, on est conduit à une notion extrêmement importante, celle du prolongement analytique, dont nous réservons l'étude pour le Volume suivant.

Remarque. — Les propriétés établies pour les séries ordonnées suivant les puissances positives d'une variable x s'étendent évidemment sans difficulté aux séries ordonnées suivant les puissances positives de :r — a et, plus généralement, aux séries ordonnées suivant les puissances positives d'une fonction continue quelconque Ç£>(.r); il suffit de les traiter comme des fonctions composées, la fonction intermédiaire étant ^{^x). Ainsi, une série ordonnée suivant les puissances positives de - est convergente pour les valeurs de x dont la valeur absolue dépasse une certaine