II. — bArIBS ENTlàRBS A PLUSIEURS VilRIABLBS

OÙ

p -., jy ^ p ^^'-'

Pn étant un polynôme de degré n en x. Ces polynômes se déterminent de proche en proche par une loi de récurrence. En diCférentiant la formule précédente par rapport à ^, il vient en effet

'~" = Pi4-aP,3-i-...-4-nP„x«-«-h...,

(l — 1TZ •+■ 5*)*

ce qui peut s'écrire, en tenant compte de la formule (3i) elle-même,

(t— z)(Po-h P,Z -4-. . .-+- P„ 5«-h. . .) = (l — 2J:5 -+- Z«)(P, -h 2 P,Z -h. . .);

égalons les coefficients de z^ dans les deux membres, et nous trouvons la relation de récurrence

{n-hi)Pn^i= {in -h i)xPn—nPn-i.

Or celte relation est identique à celle qui lie trois polynômes de Legendre consécutifs ( n* 88), et l'on a P© = \q, P, = Xj, Pj = X,. On a donc P„ = X«, quel que soit n, et la formule (3i) devient

(32) — , = I -4- \|JS -♦- Xtg«-4-. . .-I- Xjj^W^. . .^

/l — 1XZ -^ Z^

\n étant le /i''"* polynôme de Legendre

Ou verra plus tard dans quel intervalle cette formule est applicable.