II. — SÉRIES ENTIÈRES A PLUSIEURS VARIABLES

185. Propriétés générales. — Les propriétés des séries entières à une seule variable s^étendent sans difficulté aux séries entières à plusieurs variables indépendantes. Considérons d^abord une série double ^Umn^'^y^t o^ '^s nombres m et /i varient de o à +00, et où les coefficients Umn ont des signes quelconques. Si, pour un système de valeurs x=^o> y=^yo> t^ valeur absolue d^un terme quelconque de cette série est inférieure à un nombre fixe, la série est absolument convergente pour tout système de valeurs de x et de y, tel que Von ait \x\ < |j:o|, \y\ < |jKo|«

Supposons, en efTet, que Ton ait, quels que soient les In-

44^ CHAPITRB IX. — SÉRIES ENTIÈRES. SÉRIES TRIGONOVéTRIQUES.

dices m et n,

|«m«arS»^5|<M ou |am/i|<

^o\'"\yo\"'

la valeur absolue du terme général de la série double lamn^^y" est plus petite que le terme correspondant de la série double

x~\ ' ^ ^*^ ^"* ^^^ convergente pourvu que Ion ait

kl<l^o|, lr|<lro| et a pour somme — — — ,

\ ~" 1^1/ \ "~ 7ol comme on le voit en faisant d'abord la somme des termes renfermés dans une même colonne et ajoutant ensuite les diverses sommes obtenues.

Désignons par r et p deux nombres positifs tels que la série double S|a;„;i| r'^p" soit convergente, et soit R le rectangle formé par les quatre droites x = r, x = — r, y=:oy y=. — p. Pour tout point {x^y) pris à Tintérieur ou sur un des côtés de ce rectangle, la série à double entrée

(33) ¥{x,y)^Za„,nX^nyn

a tous ses termes plus petits en valeur absolue que ceux de la sérieS|aw,,| r^'p"; elle est donc absolument et uniformément convergente à l'intérieur de R et définit par suite une fonction continue des deux variables x eiy dans cette région du plan.

On démontre, comme dans le cas d'une seule variable, que les séries doubles obtenues en différentiant terme à terme un nombre quelconque de fois sont absolument et uniformément convergentes dans le rectangle formé par les droites ^ == r — e, a: = — /-+-£? y = p — e', jK = — P 4- s'î set t' étant deux nombres positifs arbitraires. Ces séries représentent les dérivées partielles des différents ordres de ¥{x^y)\ par exemple, la somme de la série

^mamnX"*~*y" est égale à -r-» car si Ton ordonne les deux séries

par rapport aux puissances croissantes de x, les termes de la seconde série seront égaux respectivement aux dérivées des termes correspondants de la première. Ainsi la dérivée partielle T est éerale à la somme d'une série double dont le

terme constant est a^n i . 2 . . . m . i . 2 . . . /z ; les coefficients amn