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d^ D^F,, F,^..., l'VO ^ 1)(F,, F,. .. . F„)

dUn D(ai, a,, ..., a«i) D(«i, aj, a„)

La dérivée - — n'est donc pas nulle pour les valeurs initiales

et, par suite, le théorème général est démontré.

Les dérivées successives des fonctions implicites définies par plusieurs équations simultanées se calculent comme dans le cas d'une seule équation. Il faut encore observer que, lorsqu'il y a plusieurs variables indépendantes, il est avantageux de calculer les différentielles totales, pour en déduire toutes les dérivées partielles du même ordre. Supposons, par exemple, qu'on ait deux fonctions a et c des trois variables or, y, z, définies par les deux relations

les différentielles totales du premier ordre du et dv sont données par les deux équations

àF ^ dF ^ àF , âF ^ âF ^

ox dy ^ dz du dv

-^— dx -{- -r- ciy -^ -r- dz -i- ^— du -h -T~ clv — o.

dx dy ôz ou dv

On aura ensuite d^u et d^ç au moyen des équations

ôF , dF , \'«^ dF ,, ôF

-- dx -\-. . .-\- -~ dv \ -r- ,- d*u ^ Tox àv j ou ov

{ ^— dx -h. . .-h -T- dv ] H- -^- rt* w H- -— a* i' ~ o, \ox aç I '^" '^'*

du àv

et ainsi de suite. Dans les équations qui donnent d'^u et rf^f, le déterminant des coefficients de ces différentielles est égal, quel que

soit n, au jacobien J" ' — - qui, par hypothèse, n'est pas nul. 26. InTersion. — Soient Mj, ai, ..., Um n fonctions des n variables

. ,. j I, I . . • E)(Mi, Uij .... Un)

indépendantes a?!, x^j ..., ar^, telles que le jacobien yt, x

u{Xii aTj, . . ., Xn)

ne soit pas identiquement nul. Les n équations

( «1~ Tl(^l> • ••» ^/l)» Wj= ?j(^lt 37,, .. ., Xrt), ...,

définissent inversement a7i, a?!, ..., ar^ en fonction de ai, a,, .... Un- H suffit, en effet, de considérer un système de valeurs a?}, xj, . . ., x% pour

lesquelles le jacobien n'est pas nul; u{, uj, . . ., u% désignant les valeurs correspondantes de Ui, Uty ..., Um il existe, d'dprés le théorème général, un système de fonctions

X, = 4/,(m,, ..., Un), Xt^ ^t{lhi •••» "«)» •..,

qui satisfont aux relations (i3)et qui prennent les valeurs x^, x\, ..., orj pour u%= u\s ..., Un= aj. Ce sont les fonctions inverses des fonctions Çi, ©1, ..., tp/»; la détermination effective de ces fonctions s'appelle une inversion.

Pour calculer les dérivées des fonctions inverses, il suffit d'appliquer les règles générales. Ainsi, dans le cas de deux fonctions

si l'on considère inversement u et v comme les variables indépendantes, r et/ comme les fonctions, on a les deux relations

du — -^ dx -+■ -i- dy, ôx ày

d'où l'on lire

dv = — - dx -4- - '- dv.

, dy ây i ^-^ ^^

dx ^y ôy ôx dx dy dy dx

On a donc les formules

do ôf

dx ày dx dy

du ~ df d(^ df do ' dv ~~ df do ôf do ' dx dy dy dx dx dy dy dx

do df

dy dx dy __ dx

du ~~ df d^ df do ' dv ~~ df d^^ df do ' dx dy dy dx dx dy dy dx

27. Tangente à une courbe gauche. — Considérons une courbe C représentée par un système de deux équations

tel que l'un au moins des trois jacobiens

<)F, dFt __ d Fx djji ^F, ^ __ ô¥x ^Fj ^ dV^ <)F, d\\ ày dz àz dy Oz ôx ôx dz ôx ày dy àx

soit différent de zéro, quand on y remplace x, y, z par J^o? JKoi ^o- Supposons, pour fixer les idées, que '' * ne soit pas nul

pour les coordonnées du point Mq; des équations (i4) on peut

alors tirer

cp et i^ étant des fonctions continues de x se réduisant respectivement àj^o et^o pour a: = Xq, La tangente à la courbe C au point Mo est alors représentée par les deux équations

quant aux dérivées ^'{x) et '}'(^), elles se calculent au moyen des deux relations

'àx-^-àj'^^''^-^-dz 'K*^) = ^' à^^ ^F, ,, dF, ,,, ^

dx ôy ' àz ^

Faisons dans ces relations x = Xq, y =^yo^ z =z Zq et rempla-

Y Vn Z z

çons ^'(xq) et J'X^o) par y-j^ et y"" respectivement; les

équations de la tangente peuvent encore s'écrire

i(S).<-->-^(';oy-->-(î).'--'i(î).<-'-(m"--'-^(m<^— -•

X — Xq __ Y — l'o Z — ^0

rD(F77F7r|" ~ rD( f;7fô| ' rD"â^7F7)T'

L'interprétation géométrique du résultat est bien facile. Les équations (i4) représentent respectivement deux surfaces S| et S2, dont la courbe C est l'intersection; les équations (i5) représentent les deux plans tangents à ces deux surfaces au