I. — PONCTIONS IMPLICITES

moins des dérivées — - » -— n'est pas nulle pour ces mêmes valeurs.

/)P Supposons, pour fixer les idées, que —^ ne soit pas nulle. D'après

le théorème établi plus haut pour une seule équation, la relation (9) définit une fonction (^ des variables Xyjr^ z, w,

qui se réduit à i'o pour x = Xq, y = y^', ^ ^^ 5o> w ^-^ i/q. Imaginons qu'on ait remplacé v par cette fonction dans l'équation (lo) ; nous sommes conduits à une relation entre x^ y^ z et e/,

*(x,7, z, u) = F,[x,^, z, u,j{x,y, z, u)], qui est vérifiée pour x ^^ ^o^y =/oj ^ = ^o w = Uo*On a

Ou ~ du dv du'

ôr, de la relation (9) on tire

— 1 -h — -i =0, Ou Ov Ou

et, en remplaçant — par cette valeur dans —» il vient

D(Fn F,)

On voit que cette dérivée n'est pas nulle pour les valeurs x^^ y^y ^0) ^oî Isi relation <> = o est donc satisfaite en prenant pour u une fonction continue u = ^(-3?, y^ z) qui est égale à iin pour X = Xq, y =yoj 2 = 5o, et, en remplaçant u par ?p(x, j^, 5) dans f(Xy y^ 5, w), on a également pour v une fonction continue. La proposition est donc établie pour un système de deux équations.

On démontre, comme plus haut, que ces fonctions admettent des dérivées partielles du premier ordre. Laissant j/* et z constants, donnons k x xxxa accroissement Ao:, et soient Aw et A^^ les accroissements-correspondants des fonctions u et p. Les équations (9)

et (lo) peuvent s'écrire

e, s', e", r,, y/, r/' tendant vers zéro lorsque Ax, Aw, Ar tendent vers zéro. On déduit de là

lorsque Ax tend vers zéro, il en est de même de Aw, Aç' et, par suite, de e, e', e", r,, r/, Tj". Le rapport — a donc une limite, c'està-dire que u admet une dérivée partielle par rapport à x

clF, ^F, __ â¥\ dVj du ^ dx âv âv dx

in;~ " OFi db\ dFi Oh\ '

au àv dv du

On verrait de même que le rapport — tend vers une limite finie j-y qui est donnée par une formule analogue; pratiquement, on calculera ces dérivées partielles au moyen des deux équations

àF, dx

dF, dv

dv dx

dF^ dx

dF, du

du dx-^

àF, dv

dv dx

et l'on obtiendra, de la même façon, les dérivées partielles par rapport aux variables y et z.

Pour établir maintenant le théorème général, il suffira de montrer que, si la proposition est vraie pour un système de (n — i) équations, elle est encore vraie pour un système de n équations. Le déterminant fonctionnel A n'étant pas nul, par hypothèse, pour les valeurs initiales, l'un au moins des mineurs correspondant aux éléments de la dernière ligne est différent de zéro pour ces mêmes valeurs. Supposons qu'il en soit ainsi pour le mineur correspon-

àF

dant à —^ » qui n'est autre que

àu„

I>(F,,F, FV,).

l>(Wl, "l "/i-I » '

le théorème étant exact pour un système de (// — i) équations^ on lire des (n — i) premières équations (E)

Tn ; Un

Un 1 = 0//-i(J^i, Ti, .. ., Tfj'y Un),

les fonctions <p,- étant continues, et, en remplaçant W|, . . ., Un-%

par les fonctions ©, o„i dans la dernière des équations (E),

00 est conduit à une nouvelle relation pour déterminer u„^

Tout se réduit à démontrer que la dérivée - - n'est pas nulle

pour les valeurs considérées a;", x\^ . . ., .r^, u^^\ car, s'il en est ainsi, on pourra déduire de cette dernière équation

la fonction ^ étant continue, et, en portant cette valeur de iin dans 0|. . . . , ç«i, on aura également pour //|, //j, . . . , w,/i des fonctions continues. Or on a

dUn àUi tiu,i ' ' ' àUn-i <^"

()b\ ôyn i àV,,

et les dérivées -- - » *— »

relations

()F, âoi dUi du a

y ;-— sont données par les n — i

dUn *^

d¥t t>Q„, du„-i dUn

dUn

dUx dUn

dUn-i <^thi

du.

on peut considérer les relations (i i) et (lu) comme n équations