COURBES ENVELOPPES

201. Recherche des enveloppes. — Étant donnée Téquation d'une courbe plane C

dépendant d'un paramètre arbitraire a, cette courbe varie en général d'une manière continue, de forme et de position, quand on fait varier ce paramètre. Si toutes ces courbes C restent tangentes à une courbe déterminée E, cette courbe E s'appelle Venveloppe des courbes C, qui sont dites les em'eloppées. Les courbes C étant données, nous nous proposons de reconnaître si elles admettent une enveloppe et de la déterminer.

L'existence de celle enveloppe E élant admise, soient (x, y) les coordonnées du point de contact M de la courbe E avec la courbe enveloppée C qui correspond à la valeur a du paramètre. Ces coordonnées x, y sont des fonctions inconnues du paramètre a, qui satisfont à l'équation (i). Pour achever de les déterminer, il nous faut exprimer que la tangente à la courbe décrite par le point M quand a varie coïncide avec la tangente à la

48o CHAPITRE X. — COURBBS PLANES.

courbe C Désignons par ùx et oy les paramètres directeurs de

la tangente à la courbe enveloppée, par ,- et -^ les dérivées des

fonctions inconnues x:=^{a), ^ = '}(a); il faudra que Ton ait

dx dy da da

Or la courbe G étant représentée par Téquation (1), où a a une valeur constante, on a la relation

qui déternnine la tangente à cette courbe. D'autre part, les fonctions inconnues x = ç(«), v = ^(^) vérifient aussi Téquation

où a désigne maintenant la variable indépendante, et, par suite, on a aussi

(i) à/^^if±^'.Uo.

àx da dy da da

L'équation de condition (2) devient, en tenant compte des relations (3) et (4),

cette équation, jointe à la relation (1), détermine les deux fonctions inconnues x = 'f («), y = ^(^)- ^^ obtiendra Jonc l'équation de l'enveloppe, si elle existe, en éliminant le paramètre a

entre les deux équations f=^ o, ^- = o.

Soit R(a:, ^) = o le résultat de l'élimination; nous allons examiner si cette courbe représente bien une enveloppe. Soient Co la courbe particulière correspondant à la valeur a© du paramètre, et (xo, yo) les coordonnées d'un point d'intersection M© des deux courbes

les équations (i) et (5) définissent deux fonctions x = ^{a\