I. — COURBES ENVELOPPES

confondre avec le point double quand la courbe C se rapproche indéfiniment de la courbe C.

La remarque précédente explique bien pourquoi l'on doit trouver le lieu des points singuliers en même temps que l'enveloppe. Supposons, pour fixer les idées, que f{x^ y, a) soit un polynôme de degré m en a. Pour un point M© pris au hasard dans le plan, de coordonnées (^o, J'o)? l'équation

(8) /(^o,ro»«) = o

admet en général m racines distinctes; il passe donc par ce point m courbes différentes de la famille considérée. Mais si le point M© appartient à la courbe R(x, j^) = o, on a à la fois

/(aro, ^0, «) = o, -^ =o,

et l'équation (8) a une racine double. On peut donc dire que la courbe K{x, y)^=o est le lieu des points du plan pour lesquels deux des courbes de la famille (i) qui y passent sont venues se confondre. Or les^î^. 87 (a) et Sy (6) montrent précisément que lorsqu'un point se rapproche indéfiniment, soit d'un point de l'enveloppe, soit d'un point de la courbe qui est le lieu des points singuliers, deux des courbes C qui passent par ce point diffèrent très peu l'une de l'autre et viennent se confondre à la limite.

Bemarque, — Il arrive fréquemment que l'on a à chercher, l'enveloppe d'une courbe

dont l'équation renferme deux paramètres variables a et 6, liés par une relation ç(a, 6)=:o. Ce cas n'est pas distinct du cas général, car on peut considérer b comme une fonction de a définie par la relation ç = o. D'après la règle établie, il faut joindre à l'équation (9) celle que l'on obtient en égalant à zéro la dérivée du premier membre par rapport au paramètre a

d? dFdb àa db da '^ *

mais de la relation ç(a, 6) = o on tire

^cp d^ db

da àb da " '

db

et ïa formule précédente devient, en éliminant --p

àa db db âa ~

On obtiendra donc l'équation de Tenveloppe en éliminant a eib entre les équations F = o, 'f = o, et Téquation précédente (lo).

203. Enveloppe d'une droite. — Prenons l'équation d'une droite D sous la forme normale

a7cosa-4-j^sina — /(«) = o,

le paramètre variable étant l'angle a. En prenant la dérivée par rapport à ce paramétre, il vient

(12) — j: sina -h^cosa — /'(a)=o.

et Ton tire des deux équations (11) et (12) les coordonnées du point de

contact de la droite mobile avec son enveloppe

I a:=/(a)cosa— /'(a)sina, ( y ~/{^) sina -h/'(a) cosa.

II est facile de vérifier que la tangente à la courbe E décrite par ce point (x^y) est la droite D; on tire en effet des équations (f3)

dx = — [/{%) -h/''{^)]sinoLdcii, ày= [/(a)-t-/"(5t)]cosa^a,