COURBES ENVELOPPES

et par suite

dv

-;- = — cola,

ce qui est précisément le coefficient angulaire de la droite D. Des équations (i4)> on tire aussi, en appelant s Tare de la courbe enveloppe,

ds = ^dx^-^dy^ = ± [/(a) +/'(«)] d%,

et, par conséquent,

il suffira donc, pour avoir une courbe rectifiable, de prendre pour /(a) la dérivée d'une fonction connue (*).

Prenons, par exemple, /(a) = / sina cosa; en faisant successivement^ = 0, et a? = o dans Téquation (ii), il vient (fig- 38) OA = /sina. OB = /coscx, et par suite AB = /. La courbe cherchée est donc l'enveloppe d'une droite de longueur constante /, dont les extrémités décrivent deux droites rectangulaires. Les formules (i3) deviennent ici

a'=/sin'a, ^=/cos'a,

et l'équation de l'enveloppe est

ijy^'.h'--

c'est une hypocycloïde à quatre rebroussements, qui a la forme indiquée sur la figure. Lorsque a varie de o à - > le point de contact décrit Tare DC. La longueur de l'arc, compté à partir de D, a pour expression

= j 3/sin

a cosa a a = — sin'a.

Soient I le sommet du rectangle construit sur OA et OB, et M le pied de la perpendiculaire abaissée du point I sur AB. Les triangles AMI, APM

(*) Dans la formule qui donne l'arc

*=/'(«)-Hy/(a)rf«,

toutes les quantités qui figurent au second membre ont une signification géométrique : a est l'angle que fait avec O^r la perpendiculaire ON menée de l'origine sur la droite mobile, /(a) est la distance ON de l'origine à celte droite, /'(«) est, au signe près, la distance MN du point de conlacl de la droite mobile avec son enveloppe au pied N de la perpendiculaire abaissée de l'origine. On appelle quelquefois cette formule de rectification la formule de Legendre,

486 CHAPITRE X. — C0URBB8 PLANBS.

donnent successivement

AM = AI cosa = /cos'a, AP = AM sina = / cos*a sina,

et par suite OP = OA — AP = /sin'a, de sorte que le point M est le point de contact de la droite AB avec son enveloppe. On a ensuite

BM = / — AM = /sin>a,

et par conséquent arc DM = - BM.