II. — COURBURE

Remarque, — Lorsque les coordonnées sont exprimées en fonction de I*arc de la courbe pris pour variable indépendante

* = ?(*). y = Hs\

les fonctions <p et 4^ satisfont à la relation

puisque l'on a dx^->rdy^= ds^j et par suite aussi à la relation

On déduit de là, en les résolvant par rapport à «p' et ^'y

où e = db I, et la formule qui donne le rayon de courbure prend la forme élégante

206. Développées. — Le centre de courbure en chaqwe point est la position limite du point de rencontre de la normale avec la normale infiniment voisine. Écrivons, en effet, Téquation de la normale

X et Y étant les coordonnées courantes; pour avoir le point de rencontre avec la normale infiniment voisine, il faut joindre à cette équation la dérivée du premier membre par rapport au paramètre variable Xj c'est-à-dire

La valeur de Y que Ton en déduit est précisément Tordonnée du centre de courbure, ce qui démontre la proposition. Il suit de là que le lieu des centres de courbure d'une courbe plane n'est autre que l'enveloppe des normales ou développée de cette courbe.

Pour étudier de plus près les relations d'une courbe avec sa développée, nous expliquerons d'abord quelques conventions. Sur une courbe plane comptons l'arc à partir d'un point fixe choisi pour origine dans un sens déterminé, et soit a l'angle que fait avec Ox la direction de la tangente menée dans le sens des

arcs croissants. De la formule tanga = itj^, on déduit

. î ,rî.v

cosa -= zfc ■ =rh --^;

on doit prendre le signe -|- dans le second membre, car, si xtis croissent en même temps^ Tangle a est aigu, tandis quMl est oblus si a; et 5 varient en sens contraire (n® 81). On a de même, en

désignant par p l'angle de Oy avec la tangente, cos ^ = ^, el ces formules peuvent encore s'écrire

dx . dy

ds ds

l'angle a étant compté comme en Trigonométrie. Observons encore

que, sur un arc n'offrant pas de point d'inflexion, on peut choisir

un sens de parcours tel que s et a varient dans le même sens, de

ds façon que l'on ait R=-^-« Lorsqu'il en est ainsi, la direction

du segment ajant pour origine le point de la courbe et pour extrémité le centre de courbure fait (comme il est aisé de s'en assurer, en examinant les deux cas possibles pour la figure) un

angle a< = a H — avec l'axe des x. Les coordonnées (^<, y\) du

centre de courbure sont alors données par les formules

3"i = a? -+- R cos (a -+--) = a? — R sina,

ji ssy -h R sin f a-+- j =y -h R cosa;

d'où l'on déduit

dxi = cosa ds — H cosa di — sina dK = — sina rfR, dyx = sina ds — R sina c/a + cosa d\\ = cosacfR.

On tire d'abord de ces formules ~-^ = — cota, ce qui prouve que

la tangente à la développée est la normale à la courbe proposée, comme on l'a démontré directement. On a ensuite la relation

ds\ = dx\ -h dy\ = c?R«,

ou ds^=: ±dR. Supposons, pour fixer les idées, que, lorsqu'on se déplace sur la courbe G de M^ en Mj, le rayon de courbure aille