II. — C0URB1IBB

constamment en croissant, et comptons l^arc de la développée de façon qu'il aille en croissant avec R. La formule précédente donne ds^ = c/R, on en tire 5| =: R -|- C et, par suite, arc I| la = R-, — R, ; Uarc de la développée est donc égal à la différence des rayons de courbure de la courbe (C) correspondant aux deux extrémités.

Cette propriété fournit un moyen mécanique pour décrire d'un trait continu la développante (C) connaissant la développée (D). Imaginons, en effet, qu'un fil soit enroulé sur la développée (D) à partir d'un point arbitraire A et s'en détache au point Ij pour

Fig. 42.

suivre la tangente I2M2; il sufGra de couper le fil en M2 et de l'enrouler sur la développée en le maintenant toujours tendu : l'extrémité décrira la développante (C).

Celte construction peut encore s'énoncer comme il suit : Soit s l'arc AI de la développée; sur chaque tangente à la développée on porte une longueur IM = /, telle que / -|- 5 = const. En faisant varier cette constante, on obtient une infinité de développantes qui se déduisent toutes de l'une d'elles en portant sur la normale une longueur constante arbitraire.

Du reste, ces propriétés se déduisent trtîs aisément de la formule générale qui donne la différentielle de la longueur d'un segment (n» 82)

dl =^ — dix cos tu| — dit cos o>2 ;

si la droite est tangente à la courbe décrite par Tune de ses extrémités et normale à la courbe décrite par l'autre extrémité, on peut

494 CHAPITRE X. -~ G0UABB8 PLANES.

prendre coi = it, 0)2= -> ce qui donne dl — rfo-, = o. Si la droile

est normale à Tune des deux courbes, et la longueur / constante, on a rf/= o, coso), = o, et par suite cosco2= o.

L'énoncé précédent, relatif à Tare de la développée, suppose essentiellement que le rayon de courbure varie dans le même sens entre les deux extrémités. Dans le cas contraire, Ténoncé doit être modifié; remarquons d'abord que si, en un point, le rayon de courbure est maximum ou minimum, on a dR = o, et par suite

Fig. 43.

de rebroussoit

dxt = dyt = o ; la développée présente donc un point de rebr sèment. Supposons, par exemple, que le rayon de courbure maximum pour le point M; on a

arcII, = IM — I,M,, arc [I, = IM — I, M,, et par suite

arcIiII,= 2lM — I,M,- I,M,.

La différence I<M4 — I2M2 représente la différence des deux arcs II|, II2 et non leur somme.

207. Cyclolde. ^ La cycloïde est la courbe décrite par un point d'une circonférence qui roule sans glisser sur une droite fixe. Prenons pour axe des X la droite fixe, pour origine le point de celte droite où la circonférence lui est tangente au début du mouvement, et pour axe des ^ la droite perpendiculaire. Lorsque la circonférence mobile est tangente en I, le point de cette circonférence qui était d'abord en O est venu en M, et l'on a arc IM = OL Prenons pour variable indépendante l'angle <p que fait le rayon CM avec CI; on a, pour les coordonnées du point M {\o\t fig, 44),