II. - DETERMINANTS FONCTIONNELS
28. Propriété fondamentale. — Nous venons de voir le rôle important que joue le déterminant fonctionnel dans la théorie des fonctions implicites. Toutes les démonstrations supposent expressément qu'un certain jacobien n'est pas nul identiquement. Si ce jacobien est nul identiquement, il se présente des circonstances toutes différentes, comme il suit du théorème fondamental suivant :
Soient H%^ «2î • • • ^ fhiy n fonctions des n i^ariables indépendantes JC,, X2, /'//. Pour quil existe entre ces n fonctions
une relation ri(W|, u^ ..., //„) — o, ne renfermant pas les variables X|, x., . . . , x,,, il faut et il suffit que le déterminant
fonctionnel -— ^'— ''^i* •'-''^' soit nul identiquement.
U{Xx, Xt Xn) '
D'abord, cette condition est nécessaire. En effel, s'il existe entre les /2 fonctions //f , U2, .... w^, une relation n(w,, u-y, . . . , u„)=Oy on en déduit, en différentiant par rapport à chacune des variables Xi successivement, les n équations
OU
Oui
Oui OU Oit^ Oxx Oiit Oxx
OUu
Ou,, Ox\
OU
peu
Oiii OU Oiu
OXfi àUf OXn
t avoir à la fois
ou
Oii„
Ou,, OXa
OU OU Oui ~' di(i
OUn
puisque la relation considérée se réduirait à une identité, il faut
bien que le déterminant formé par les coefficients de -— -> • • • > ^ — ^ *^ dUl du„
soit nul.
La condition est aussi suffisante. Pour établir ce point, nous nous appuierons sur quelques remarques qui résultent immédiatement des théorèmes généraux :
1° Soient w, f, fv trois fonctions des trois variables indépendantes œ. r, z. telles que le déterminant >— — ^ — ^-^ ne soit pas nul.
On ne peut avoir entre les différentielles totales du, dv, dw aucune relation de la forme
\du -^ \Ldv -^^ dw = G,
à moins que Ton n'ait à la fois X := [jl = v = o. En effet, en égalant à zéro les coefficients de dx, dy^ dz dans la relation précédente, on a trois équations qui n'admettent pas d'autre solution en X, |JL, V que X = jjl = v = o.
2** Soient w, w, i^, SrV quatre fonctions des trois variables indépendantes x^ y y z, telles que tjt"^— ^-— r "^ soit pas nul. On peut
inversement exprimer x, y^ z en fonction de w, t^, (V, et en portant ces valeurs de x^y^ z dans w, on obtient une fonction
tu = tî>(/^, V, w)
des trois variables w, s^^ w. Si, par un moyen quelconque, on a obtenu entre les différentielles totales rfco, rfw, dçj rftv, prises par rapport aux variables indépendantes x^y^ s, une relation de la forme
(i«) €/(u = V du -^ iidç-hR dw,
les coefficients P, Q, R sont égaux respectivement aux dérii^ées partielles de ^(u, t^, w),
au av dw
On sait, en effet, d'après la règle qui donne la différentielle totale d'une fonction composée (n° 16), que l'on a bien
, t)4> , r)«l> ^ d^ , aoi = -— du -h -~ di> -h -,— dw, du dv dw
