DETERMINANTS FONCTIONNELS. 6l

et il ne peut pas exister entre diù^ duy dv, dw d'autre relation que la précédente de la forme (i6), car on en déduirait une égalité de la forme

> du -f- ;ji dv - - V dw — o,

où les coefficients X, [Ji, v ne seraient pas tous nuls; ce qui est impossible, d'après la première remarque.

Il est clair que ces remarques s'étendent à un nombre quelconque de variables indépendantes.

Cela posé, considérons, pour fixer les idées, un système de quatre fonctions de quatre variables indépendantes

Y -Ft(x,y,z, t),

le jacobien — |-'* — *' /'#/ ^s^> P^^^ hypothèse, identiquement nul, et nous supposerons d'abord que Tun des mineurs du premier

ordre, — ,,V — ^- — ~- par exemple, est différent de zéro. Des trois ' D{x,j^,z) » ^ '

premières équations (17) on peut imaginer que Ton tire les

valeurs de x^ y^ z en fonction de X, Y, Z, t et, en portant ces

expressions dans la dernière formule, on obtient pour T une

fonction de X, Y, Z, /,

on va démontrer que cette fonction <I> ne contient pas la variable /, ou que Ton a identiquement — = o. Considérons pour cela le

déterminant

dx dy dz

dY % <)Fj dFj

àx dy dz

àFj, d?^ dVj,

dx dy dz

d¥,, djj, d¥^

dx dv dz

d\ d\ dZ

dT

si l'on remplace dans ce déterminant rfX, rfY, rfZ, rfT par leurs

(ji CHAPITRE II. — FONCTIONS IMPLICITES, ETC.

expressions

rf\ - . dx -r- - dy -r- - dz -i- -^ dt,

Ox ùy '^ dz dt

puis qu'on développe par rapport à rfx, dy^ dz, dty on vérifie que les coefficients de ces quatre différentielles sont nuls; les trois premiers sont des déterminants aj'ant deux colonnes identiques, le coefficient de dt est le déterminant fonctionnel lui-même. On a donc A = o. D'autre part, si l'on développe ce déterminant par rapport aux éléments de la dernière colonne, le coerOcient de d'V n'est pas nul et on a une relation de la forme

^/T --- P d\ r- Qd\ - R dZ.

D'après la remarque de tout à l'heure, le coefficient de dt, dans le second membre, est égal à — • Or, ce second membre ne renferme pas rf/; on a donc -r- =: o, et la relation (i8) est de la forme

Tr^*(X, Y, Z).

ce qui démontre le théorème énoncé.

On peut remarquer qu'il n'existe pas, entre les quatre fonctions X, Y, Z, T, de relation indépendante de o;,^, z, t, qui soit distincte de la précédente. En effet, s'il en existait une, en y remplaçant T par <Ï>(X, Y, Z), on en déduirait une nouvelle relation de la forme n(X, Y, Z) =^ o, et l'on devrait avoir