I. — PLAN OSCULATEUR. 5l

normale, sur toute courbe gauche, un certain nombre de points jouissant de cette propriété.

Ceci nous amène à examiner s'il existe des courbes F dont tous les plans osculateurs soient stationnaires. D\me façon précise, cherchons toutes les fondions x^ y^ z d'une variable ^, continues ainsi que leurs dérivées jusqu'au troisième ordre, telles que le déterminant précédent A soil identiquement nul lorsque t varie entre deux limites a et 6 (a < b).

Supposons d'abord que l'un des mineurs de A relatifs aux éléments de la troisième ligne, par exemple dxd^y — dyd^x^ ne s'annule pas dans l'intervalle (a, b). Les deux relations

dz = Cl dx '\- Ctdy^

déterminent pour C| et C2 des fonctions continues de t dans cet intervalle; puisque A = o, ces fonctions satisfont aussi à la relation

(10) . d^z—Qxd^x-^Cid^y,

Différentions maintenant les équations (9) en tenant compte de la formule (10); nous obtenons les nouvelles équations

dQxdx-^-dCidf = o, dCid^x-h dC^d^y = o,

d'où nous tirons rfG|=rfC2 = o. Les coefficients C|, C2 sont donc constants et, en intégrant la première des équations (9), il

vient

z = Cl ar H- Cxj' -^ C3,

C3 étant une nouvelle constante. La courbe T est donc une courbe plane.

Si le déterminant dx d^y — dyd^x s'annule pour une valeur c de la variable / comprise entre a et 6, le raisonnement ne prouve plus rien, car les expressions de Ci et de Cj deviennent infinies ou indéterminées pour cette valeur c de t. Supposons, pour fixer les idées, que ce déterminant ne s'annule que pour celte valeur de t dans l'intervalle (a, b) et que, pour / = c. le déterminant analogue dx d^z — dz d^x ne soit pas nul. Le raisonnement qui précède prouve que tous les points de la courbe T obtenus en faisant varier t de a k c sont dans un même plan P, et que tous les points obtenus en faisant varier ^ de c à ^ sont dans un même plan Q. D'autre part, le mineur dxd^z — dzd^x n'étant pas nul pour

5l6 CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

t =: c, choisissons un nombre h assez petit pour que ce mineur ne s'annule pas en faisant varier ^de c — Aàc-+-A. Tous les points de la courbe T obtenus en faisant varier t de c — h k c -\- h sont encore dans un même plan R; ce plan R doit avoir une infinité de points communs avec les plans P et Q et, par suite, ces trois plans coïncident.

£n généralisant ce raisonnement, on en conclut que tous les points de la courbe F sont dans un même plan, lorsque les trois déterminants

dxdyy — dyd^Xf dx d^z -- dz d^x^ dy d'^z^ dz d'^y^

ne s'annulent pas simultanément dans l'intervalle (a, b). Si ces trois déterminants s'annulent en même temps, il peut arriver que la courbe T se compose de plusieurs arcs de courbes planes situés dans des plans distincts, qui se rejoignent en des points où l'équation du plan osculateur est indéterminée (*).

Lorsque les trois mineurs précédents sont identiquement nuls dans un certain intervalle, la courbe F est une ligne droite, ou se compose de por-

dx lions de droites. Si, par exemple, -, ne s'annule pas dans l'intervalle (a, b),

on peut écrire

d^y dx — dy d^x __ d'^z dx — dsd^x ^

et l'on en conclut que Ton a

dy = Cl dx^ dz = Cj dx^ C| et Gt étant deux constantes; une nouvelle intégration donne ensuite

^ = CiJ7-t- C',, 5=Cja7-hC',, ce qui montre que la courbe F est une ligne droite.

217. Tangentes stationnaires. — Ce qui précède nous conduit à étudier sur une courbe gauche certains points exceptionnels que nous n'avons pas encore définis; ce sont les points où l'on a

d^x d^y dKz ^ ^''^ dx '^ dy '^ "57'

on dit qu'en ces points la tangente est stationnaire. On démontre aisément, en appliquant la formule qui donne la distance d'un point à une droite, que la distance d'un point de F à la tangente en un point voisin, qui est en général du second ordre, est du troisième ordre pour une tangente stationnaire. Si la courbe F se réduit à une courbe plane, les tan-

(* ) Ce cas singulier parait avoir été signalé pour la première fois par M. Pcano. Il n'offre évidemment qu'un intérêt purement analytique.