I. — PLAN OSCDLATEUB

gentes stationnaires sont les tangentes d'inflexion. Le calcul que nous venons de faire prouve que la seule courbe dont toutes les tangentes soient stationnaires est la ligne droite.

En un point où la tangente est stationnaire, on a A = o» et l'équation du plan osculateur se présente sous forme indéterminée. Mais cette indétermination n'est qu'apparente. £n effet, si nous reprenons les calculs faits au début du n** Slo, en poussant le développement des coordonnées du point M' jusqu'aux termes du troisième ordre, et utilisant les relations (11), nous trouvons que l'équalion du plan passant par la tangente en M et par le point voisin M' peut s'écrire

f\t) cp'(/) f(0

l/^CO^-e, 970-^^-5 r(0-Hes

&i, 6), £3 tendant vers zéro avec h. Ce plan tend donc vers une position limite parfaitement déterminée; on obtiendra l'équation du plan osculateur en remplaçant la seconde des conditions (6) par la sui\ante

Si l'on avait aussi

dx ~ dy ~~ dz

il faudrait remplacer la seconde des relations (6) par

A dix -\- B dny -f- C di z = o,

q étant le plus petit nombre entier, tel que cette relation soit distincte de Kdx -^h dy -\- Q^dz •=. o. Nous laisserons au lecteur le soin de le démontrer, et d'étudier la position de la courbe par rapport au plan osculateur. Dans le cas général, où l'on n'a pas

un plan tangent quelconque est traversé par la courbe gauche, sauf le plan osculateur qui n'est pas traversé.

218. Application à quelques courbes. — Considérons en particulier les courbes gauches F qui satisfont à une relation de la forme

(la; xdy — y dj^ — K dZj

K étant une constante donnée; de cette relation on déduit encore

X d-y — y d-x — K d- Zy

( X d^y — y d^x -h dx d-y — dy d^x = K d^z

Étant donnée une courbe de cette espèce, proposons-nous de trouver les

ÇlS CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES.

plans osculateurs qui passent par un point donné (a, b, c) de l'espace. Les coordonnées du point de contact (x, y, z) doivent satisfaire à Téquation

dx dy dz

qui devient, en tenant compte des relations (12) et (i3), (i4) ay — bx-hK{c — z) = o;

les points de contact sont donc à l'intersection de la courbe gauche F et du plan représenté par l'équation (i4)y plan qui passe par le point (a, i, c). L'équation A = o, qui détermine les points où le plan osculateur est slationnaire, devient de même, en remplaçant dz, d*z et d^z par leurs valeurs,

A = ^ {dxd^y — dy d^xY = o ;

on aura donc, pour ces points,

d^x __ d^Y __ yd^x — xd>y ^ d^z dx ~~ dy ~~ y dx — x dy "^ dz

ce qui montre que la tangente est stationnaire.

Il est facile d'avoir des courbes gauches satisfaisant à la relation (u); il suffît, par exemple, de poser

A, B, C, m, n étant constants. Les courbes les plus simples sont la cubique gauche x = t, y = t^y z = <*, et la courbe gauche du quatrième ordre x = t, y = t^y z = t^. L'hélice circulaire

X = acosty y = as'inty z = Kt

répond aussi à la question.

Pour obtenir toutes les courbes gauches satisfaisant à la relation (12),

écrivons-la

d{xy — Kz) = iy dx;

si Ton a

celte relation nous donne ^y/'{t) = ^'{t). En résolvant ces trois équations par rapport à .r, y, z, nous obtenons les expressions générales des coordonnées en fonction d'un paramètre variable