Surfaces à on paramètre. — Soit (16) /{x,jr,z,a)=o

l'équation d'une surface S, dépendant d'un paramètre arbitraire a. S'il existe une surface E tangente à chacune des surfaces S le long d'une courbe C, cette surface E est appelée Venveloppe des surfaces S, et la courbe de contact C des deux surfaces S et E est la caractéristique.

Pour reconnaître s'il existe une enveloppe, il faut donc examiner s'il est possible de déterminer sur chacune des surfaces S une courbe C telle que le lieu de ces courbes soit tangent à la surface S le long de G. Soient Xjy, z les coordonnées d'un point M de la caractéristique; si ce point n'est pas un point singulier de la surface S, l'équation du plan tangent à cette surface est

D'autre part, quand on se déplace sur l'enveloppe E, x^ j, ;;, a sont des fonctions de deux variables indépendantes vérifiant l'équation (16) et, entre leurs différentielles, on a la relation

^ ^ ^ dx ôy -^ ôz da

pour que le plan tangent à la surface E soit identique au plan tangent à S, il faut et il suffit que l'on ait entre les différentielles dx^ dy^ dzy la relation

■f- dx -h -~ dy -^ -\- dz =^ o, dx dy '^ dz

5aO CHAPITRE XI. — COURBES GAUCHES,

conditioD qui devient, en tenant compte de la précédente, (.8) ^^=0.

On démontrera inversement, comme pour les courbes planes (n'*201), que la surface K(ûc^y^ z) = o, obtenue par réliminatioa du paramètre a entre les deux équations (i6) et (i8), représente, soll l'enveloppe des surfaces S, soit le lieu des points singuliers. La caractéristique C représentée par les équations (i6) et (18) est encore la position limite de la courbe d'intersection de la surface S avec une surface infiniment voisine de la même famille.

220. Surfaces à deux paramètres. — Considérons maintenant une équation

qui représente des surfaces S dépendant de deux paramètres a et b. Il n'existe pas en général de surface tangente à toutes les surfaces de cette famille tout le long d'une courbe; en effet, si l'on établit entre les deux paramètres a et b une relation 6 = (p(a), on a des surfaces ne dépendant plus que d'un paramètre a, et la caractéristique est représentée par Téquation (19) jointe à l'équation

(20) ôa-^'àb'^'''^^''-

Cette caractéristique dépend en général de ?'(«), de sorte que sur chaque surface S il y a une infinité de caractéristiques; elles n'engendrent donc pas une surface lorsque a et b varient. Nous allons chercher s'il existe une surface E touchant chacune des surfaces en un point seulement, ou en quelques points, et non tout le long d'une courbe. Si cette surface existe, les coordonnées (:r, /, z) d'un point de contact de la surface S avec l'enveloppe E sont des fonctions des deux paramètres variables a et b qui satisfont à la relation (19) et dont les différentielles dx, dy^ dz vérifient par conséquent la relation

^ ' dx dy ^ àz àa àh

Pour que la surface, lieu du point (^, y^ z), soit tangente à la