II. — SURFACES ENVELOPPES

une courbe gauche F est une surface développable. Soient

les coordonnées d*un point de F; le plan osculateur

A(X — ar)-hB(Y-7)-+-C(Z — ^) = o

dépend d^un seul paramètre variable t; nous allons vérifier que la caractéristique de ce plan est précisément la tangente. Cette caractéristique est Finterseclion du plan osculateur avec le plan

dA(X — x) -t- rfB( Y — 7) -4- dC{Z — -«) = o,

qui passe également par le point Xy y^ z. Pour démontrer qu'elle se confond avec la tangente, il suffit de prouver que l'on a

Adx-h Bdy-h Cdz = Of dXdx-^- dBdy-hdCdz =o;

la première de ces relations est une des relations (6) qui déterminent les coefficients A, B, G. La seconde s'obtient en difliérentiant la première et tenant compte de la dernière des formules (6),

kd^x-hBd^jr'hCd^i = o.

Ce mode de génération d'une surface développable permet de se faire une idée assez nette de la forme de la surface. Soit AB un arc de courbe gauche; par chaque point M de l'arc AB menons la tangente, et ne considérons que la portion de tangente qui correspond à une direction déterminée, par exemple celle de A vers B. Le lieu de ces demi-droites est une nappe de surface S| limitée par l'arc AB et les deux tangentes en A et B, s'élendant d'autre part jusqu'à l'infini. En prenant de même les autres portions de tangentes, on obtient une autre nappe de surface analogue S2, qui se raccorde avec S| le long de l'arc AB; les deux nappes de surface paraissent se recouvrir partiellement pour un observateur placé au-dessus. Il est clair que tout plan passant par un point O de l'arc AB coupe les deux nappes S| et Sa suivant deux branches de courbe qui viennent se raccorder au point O, en formant un rebroussement; cette propriété explique le nom d'arête de rebrousse ment donné à la courbe gauche F.

Il est aisé de le vérifier par le calcul. Prenons le point O pour

origine, le plan sëcanl pour plan des xy^ la tangente pour aie des 5, le plan osculateur pour plan des xz\ si l'on a pris z pour la variable indépendante, les développemenls de x Qlàe y sonl de la forme

car on doit avoir, pour l'origine,

dx c!y d'Y dz dz dz^

et les équations de la tangente en un point voisin de l'origine s'écrivent

Si l'on y fait Z = o, on a les coordonnées X, Y du point de rencontre de la tangente avec le plan sécant; les développements de ces coordonnées commencent respectivement par un terme en 5* et par un terme en z' . On a donc bien un rebroussement à l'origine.

Exemple, — Prenons pour arête de rebroussement la cubique gauche X = tj y = t^, z = t^. L'équation du plan osculateur est

(27) <»— 3<«X-f-3rY — Z=o;

on obtiendra l'équation de la surface développabicen écrivant que l'équation précédente, considérée comme une équation en t, admet une racine double, ce qui revient à éliminer t entre les deux équations

I ^'-^'X^V = o, ^ ^ ( X^'--;^<Y-hZ=o.

Le résultat de l'élimination est

(XY - Z)*— 4(X«- Y)(Y»- XZ) = o;

la surface développable est donc du quatrième ordre.

On peut remarquer que les équations (28) représentent la tangente à la cubique gauche.

222. Si 5 = F (a:, y) est l'équation d'une surface développable, la fonction ^{x^y) satisfait à V équation s^ — r/ = o, r, 5, t désignant, suivant l'usage, les trois dérivées partielles du deuxième ordre de la fonction F(^, y).