II. — SURFACES ENVELOPPES
En effet, le plan tangent à cette surface, qui a pour équation Z =p\-h q\ -\- z— px — qyj
ne doit dépendre que d'un paramètre; des trois quantités />, <jr, z — px — qy^ il y en a donc une seule d'arbitraire, et en particulier il y a une relation entre p et y, /(/>, q) = o. On déduit de là
que le jacobien ^/^' ^ = rt — s^ doit être identiquement nul.
Inversement, si l'on a rt — 5^=0, q et p sont liés par une relation au moins. S'il y a deux relations distinctes, p et q sont des constantes p = aj q = b, et h fonction F(^, y) est égale à ax 4- by-{- c; la surface est un plan. S'il y a une seule relation entre p et q^ on peut l'écrire q = ^{p)i p ne se réduisant pas à une constante. Mais on a aussi
de sorte que :; — px — qy est aussi une fonction de /?, soit ^(/?), lorsque rt — 5^=0. La fonction inconnue z:=^¥[x^ y) et ses dérivées partielles p et q vérifient donc les deux relations
différentions la seconde par rapport à ^ et ky, il vient
[x-^yo'(p)-h^'(p)] f^ =0, [x-^yi(p)-^^'{p)\ f~ =0.
Puisque p ne se réduit pas à une constante, on doit avoir
x+yo'ip)-\-^\p) = o.
L'équation de la surface s'obtiendra donc en éliminant p entre
cette relation et
z =px-^y^{p)'\-^{p),
ce qui donnera précisément l'enveloppe du plan précédent, où l'on regarde/? comme le paramètre variable.
223. Enveloppe d'une famille de courbes gauches. — Une famille de courbes gauches, dépendant d'un paramètre variable, n'admet pas en général de courbe enveloppe. Considérons d'abord
une famille de droites
a, 6, />, q étant des fonctions données d'un paramètre variable a; nous allons chercher à quelle condition cette droite est tangente dans toutes ses positions à une courbe gauche F. Soit 5 = ç(a) la coordonnée z du point M où la droite mobile D touche son enveloppe F; la courbe cherchée F sera représentée parles équations (29), auxquelles on ajoutera la relation ^=ç(a), elles paramètres directeurs de la tangente à cette courbe auront pour
expressions
dx
a', 6', />', q' étant les dérivées de a, 6, /», q. Pour que cette tangente soit la droite D elle-même, il faut et il suffit que Ton ail
dx ^ dz ^y ^ L ^^
doL dcL doL ^ doL
c'est-à-dire
La fonction inconnue f (a) doit donc satisfaire à deux relations distinctes, et par conséquent la droite mobile n'a une enveloppe que si ces relations sont compatibles, c'est-à-dire si l'on a
Lorsque celle relation est vérifiée, on obtiendra la courbe en-
veloppe en prenant <p(a) = — A = — %-r
11 est facile de généraliser le raisonnement. Considérons une famille de courbes gauches (G), dépendant d'un paramètre variable a, représentées par les équations
(3o) F(J?, j, >s, a) = o, *(ar, j^, 5, a) = o;
si ces courbes G sont tangentes à une courbe F, les coordonnées (^, j^, z) du point de contact M de la courbe G, qui correspond à la valeur a du paramètre, avec l'enveloppe sont des fonctions du paramètre a qui vérifient les équations (3o), et une autre relation
