I. — FONCTIONS D'UNE VARIABLE

1. Limites. — Lorsque les valeurs successives d'une variable x se rapprochent de plus en plus d'une quantité constante a, de façon que la valeur absolue de la différence x — a finisse par 1^

devenir et rester plus petite que tout nombre donné à Tavance, ^

on dit que la variable x a pour limite la constante a. Cette définition nous donne un critérium permettant de reconnaître si a est la limite de la variable x\ pour qu'il en soit ainsi, il faut et il suffit qu'étant donné un nombre positif e, aussi petit qu'on le voudra, il arrive un moment à partir duquel la valeur absolue de X — a reste constamment inférieure à s, pour toutes les valeurs que la variable x est susceptible d'acquérir.

De nombreux exemples de limites sont fournis par la Géomé-

trie et l'Algèbre. Par exemple, la quantité variable x = — a ^-^

pour limite aa lorsque m tend vers a, car il suffit que la valeur absolue de m — a soit inférieure à s pour que la valeur absolue de j: — 2a soit elle-même plus petite que e. De même la variable • .^'^

x = a > où n est un nombre entier positif, a pour limite a

lorsque ce nombre n augmente indéfiniment, car il suffit que n G. 1

soit supérieur à - pour que a — x soit inférieur à s. On voit, par

ces exemples, que les valeurs successives de la variable x tendant vers sa limite peuvent former une suite continue ou une suite discontinue.

Il est, en général, très difficile de trouver la limite d'une quantité variable. La proposition suivante, que nous admettrons comme évidente, permet, dans bien des cas, d'affirmer Texislence d'une limite :

Toute quantité variable, qui rCest jamais décroissante et qui reste inférieure à une quantité constante L, tend vers une limite /, inférieure ou au plus égale à L.

De même, toute quantité variable, qui n'est jamais croissante et qui reste supérieure à une quantité constante U, tend vers une limite l'y supérieure ou au moins égale à L'.

Par exemple, si une série à termes positifs a ses termes plus petits respectivement que les termes correspondants d'une autre série convergente, à termes positifs, on peut affirmer que la première série est également convergente, car la somme 2„ des n premiers termes augmente évidemment avec l'indice n et cette somme est toujours plus petite que la somme S de la seconde série.

2. Fonctions. — Lorsque deux quantités variables sont liées de telle façon que la valeur de l'une dépend de la valeur de l'autre, on dit qu'elles sont fonctions l'une de l'autre. L'une d'elles étant considérée comme variant arbitrairement, on l'appelle la variable indépendante. Soit x cette variable qui pourra prendre, par exemple, toutes les valeurs comprises entre deux nombres donnés a et b(a<C b). Désignons par y une autre variable telle que, à toute valeur de x compiise entre a et b corresponde une valeur bien déterminée de y, ainsi qu'aux valeurs limites a et b; on dit que y est une fonction définie de ^ dans l'intervalle (a, 6), et l'on indique cette dépendance par l'égalité^ =/(a:). Par exemple, il peut se faire que la valeur de^ soit le résultat de certaines opérations arithmétiques efiectuées sur la valeur de x\ tel est le cas des fonctions les plus simples que l'on étudie dans les éléments, comme les polynômes, les fonctions rationnelles, les radicaux, etc. Une fonction peut aussi être définie graphiquement. Étant donnés,