I. — po?«€no!«8 d'une variable

dans un plan, deux axes de coordonnées Ox^ Oj', si Ton joint deux points A et B de ce plan par un arc de courbe ACB de forme arbitraire, tel qu'une parallèle à l'axe Oy ne puisse rencontrer cet arc de courbe en plus d'un point, l'ordonnée d'un point de cette courbe sera une fonction de l'abscisse. Cet arc de courbe ACB peut d'ailleurs se composer de plusieurs portions distinctes appartenant à des courbes différentes, telles que des portions de droite, des arcs de cercle, etc. Bref, on pourrait se donner une loi absolument arbitraire pour déduire la valeur de y de celle de x. Le mot de /onction, pris dans son acception la plus large, ne signifie pas autre chose qie ceci : à une valeur de x correspond une valeur de y.

3. Cûntinuité. — La définition des fonctions auxquelles s'applique le calcul infinitésimal ne comporte pas une aussi grande indétermination. Soiiy=/{x) une fonction définie dans l'intervalle (a, b); prenons une valeur Xo comprise dans cet intervalle et une valeur voisine Xo-+- h comprise dans le même intervalle. Si la différence /(^o H- A) — /(^o) tend vers zéro, lorsque la valeur absolue de h tend vers zéro, la fonction /{x) sera dite continue pour la valeur Xq, D'après la définition même de la limite, on peut dire encore c^\x* une fonction f{x) est continue pour x = Xq si à tout nombre positif tj aussi petit qu^on le suppose, on peut faire correspondre un autre nombre positif vj tel que Von ait

|/(xo-4-A)-/(;ro)|<£,

pour toute valeur de h moindre que r\ en valeur absolue {*). Nous dirons qu'une fonction f{x) est continue dans l'intervalle (a, b) si elle est continue pour toute valeur de x comprise dans cet intervalle et si les différences

f(a^h)^f(a}, /ib-k)-f(b)

tendent vers zéro lorsque la différence h tend vers zéro en restant positive. /

On démontre dans tous les Cours d'Algèbre que les polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction exponentielle, la fonction

(>) Le symbole \a\ désigne la valeur absolue de a.

4 CHAPITRE I. — DERIVÉïrS ET DIFFÉRENTIELLES.

logarithmique, les fonctions trigonométriqiies et les fonctions inverses sont des fonctions continues, sauf pour certaines valeurs particulières de la variable. 11 résulte aussi de la déHnilion que la somme ou le produit d'un nombre quelconque de fonctions continues est encore une fonction continue; il en est de même du quotient de deux fonctions continues, sauf pour les valeurs de la variable qui annulent le dénominateur.

Il me parait superflu d'expliquer ici pour quelles raisons nous sommes conduits à admettre que les fonctions définies physiquement sont continues, au moins en général.

Parmi les propriétés des fonctions continues, nous citerons dès maintenant les deux suivantes, que Ton serait tenté de considérer comme évidentes, mais qui constituent de véritables théorèmes dont on trouvera plus loin une démonstration rigoureuse (*).

I. Soity=^/{x) une/onction continue dans l'intervalle (^, b) et N un nombre compris entre f [à) etf{b) ; V équation f(^x) = N a au moins une racine comprise entre a et b.

H. Il existe au moins une valeur de x appartenant à V intervalle (a, b) [y compris a et b) pour laquelle y prend une valeur M supérieure ou au moins égale à toute autre valeur de la fonction dans le même intervalle. Il existe de même une valeur de x pour laquelle y prend une valeur m inférieure ou au plus égale à toute autre valeur de la fonction dans le même intervalle.

Les nombres M et m sont les valeurs maximum et minimum Aef{x) dans l'intervalle (a, b). Il est clair que la valeur de x pour laquelle f{x) prend sa valeur maximum M peut se confondre avec Tune des limites a ovx 6, et il en est de même de la valeur de x qui correspond au minimum. De la combinaison des propositions précédentes on déduit immédiatement que l'équation f{x) = N, où N est un nombre compris entre M et m, admet au moins une racine comprise entre a et 6.

4. Exemples de discontinuité. — Les fonctions que nous étu- (') Voir Chapitre IV.