I. — COURBURE DES COURBES TRACEES SUR UNE SURFACE

lions

(3) dz =-p dx -\' q dy^

(4; d>z =^pd'^x ->r q d^y -\- r dx^-^isdxdy -^tdy'^\

la première de ces relations exprime que la tangente à la courbe C est située dans le plan tangent à la surface. Pour interpréter la seconde, nous exprimerons les difTérentielles au moyen d'éléments ayant une significatiop géométrique; or, si la variable indépendante est Tare 9 de la courbe C, on a

du ~ *' du" ^' d^ "^^ £/a« ~ R' é/a« " R* d<3^ ~ R'

a, p, Y, a', P', y', R ayant la signiGcation habituelle (n** 229). La formule (4) devient alors, en divisant les deux membres

pa^y/l+/?^-h5^^

ce qui peut encore s'écrire, d'après les formules (2),

Mais le numérateur W+ix^'+vy' représente précisément le cosinus de l'angle 0 que fait la direction de la normale principale à la courbe G avec la direction positive de la normale à la surface, et nous obtenons ainsi la formule fondamentale

qui est entièrement équivalente à la relation (4), et qui renferme par conséquent tout ce qui concerne la courbure des courbes situées sur la surface. Dans celte formule, le rayon de courbure R et le radical y/i -\- p^ -\- q^ sont des quantités positives, de sorte que cosO est du même signe que ra'--h 25ap ~\- t^^\ le signe de celle quantité indique donc si l'angle 0 est aigu ou obtus.

Considérons d'abord toutes les courbes situées sur la surface, passant au point M, et ayant en ce point le même plan osculaleur (distinct du plan langent). Toutes ces courbes ont même lan- G. 36

56ti CHAPITRE XII. — SURFACES.

gente, rintersection du plan osculateur avec le plan tangent à la surface; les cosinus a, p, y sont donc les mêmes pour tontes ces courbes. D^autre part, si l'on mène dans le plan osculateur une perpendiculaire à la tangente, la direction de la normale principale coïncide avec l'une des deux directions que l'on peut considérer sur cette droite. Soit (o l'angle de la normale à la surface avec l'une de ces directions; on doit avoir 0 = w, ou 0 = t: — w. Mais le signe de ra^-i- a^ap 4- ^^^ indique si l'angle 0 est aigu ou obtus; il s'ensuit que la direction de la normale principale esthi même pour toutes les courbes considérées. L'angle Q étant le même, il s'ensuit que le rayon de courbure R a aussi la même valeur et, par conséquent, toutes les courbes de la surface passant au point M, et ayant en ce point le même plan osculateur, ont aussi le même centre de courbure.

Il suffit donc d'étudier la courbure des sections planes faites dans la surface. Nous étudierons d'abord comment varie la courbure des diverses sections planes faites dans la surface par des plans passant par une même tangente MX. On peut supposer, sans nuire à la généralité, que l'on a, pour cette tangente, ra^-h 2 54^ -f- f ^^ > o, car il suffit de changer la direction positive de Oz pour que r, 5, t changent de signe. Pour toutes ces sections planes, on a donc cosO>o, et l'angle 8 est aigu. En particulier, soit R< le rayon de courbure de la section faite par le plan normal passant par MT; l'angle 0 correspondant est nul, et Ton a

Pour une section oblique dont le plan fait un angle 0 avec le plan de la section normale, le rayon de courbure R est donné par la formule (5). La comparaison de ces deux formules montre que l'on a

I cos6

ou R = R| cosO, relation qui exprime que le centre de courbure de la section oblique est la projection du centre de courbure de la section normale. C'est le théorème de Meusnier.

La formule précédente ramène l'étude de la courbure d'une