I. - COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

239. Formule fondamentale. Théorème de Meusnier. — Pour éludier la courbure d^une surface en un point M non singulier, nous la supposerons rapportée à un sjslème de trois axes rectan- «^ulaires, Taxe des z n'étant pas parallèle au plan tangent. Si la surface est analytique, elle sera représentée par une équation de la forme

la fonction F(:c, y) étant développable en série entière ordonnée suivant les puissances Ae x — Xq et de ^ — y^ dans le voisinage du point considéré (^o»>'o7 ^ù) (n® 194). Mais les raisonnements qui vont suivre n'exigent pas que la surface soit analytique; nous supposerons seulement que la fonction F(a:, y) et ses dérivées partielles du premier et du second ordre, que nous désignerons, suivant la notation de Monge, par/?, q^ r, 5, /, sont continues dans le voisinage des valeurs Xq^ y^. D'après l'équation du plan tangent, les cosinus directeurs de la normale à la surface sont proportionnels à/?, y, — i; si l'on adopte comme direction positive celle qui fait un angle aigu avec Oz, les cosinus directeurs X, jx, v sont donnés sans ambiguïté par les formules

Soit C une courbe située sur la surface et passant au point M; 1rs coordonnées d'un point de celte courbe sont des fonctions d'un paramètre variable qui vérifient identiquement l'équation (ij, et dont les diflérentielles satisfont par conséquent aux deux rela-