I. — COURBURE DES COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE

est par conséquent

(î)) rÇï-i-a^Çr, -^/rj«= i;

celle courbe est une ellipse appelée indicatrice, qui a pour centre rorîgine. On voit que R est maximum lorsque la trace du plan sécant coïncide avec le grand axe de l'ellipse et minimum lorsque cette trace coïncide avec le petit axe, et que deux plans sécants dont les traces sont également inclinées sur les axes de l'indicatrice donnent la même valeur pour R. Les sections normales passant par les axes de Tindicalrice s'appellent les sections normales principales et les rayons de courbure correspondants sont les rayons de courbure principaux. Si Ton a pris pour axes des X et des y les axes mêmes de l'indicatrice, on a, dans ce système d'axes, 5 = 0, et la formule (8) devient

— — r cosses -H ^ sin*o ; K * '

les rayons de courbure principaux R| et R2 s'obtiennent en faisant ç = o, ou j r^ -. On a donc — r^ r, t.- = f, et par suite I cos*o siii'o

2° 5^ - /•/ > o. Les sections normales correspondant aux valeurs de l'angle ^, racines de l'équation

r C()s*cp -h 25 coso sino -4- t sin^a — o

ont un rayon de courbure infini. Soient L', OL,, L'^OLj les traces de ces deux plans sur xOy, Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans l'angle LiOLj, par exemple, le trinôme est positif et, en employant la même représentation que dans le premier cas, on voit que la portion correspondante de l'indicatrice est représentée par l'équation

c'est une hyperbole ayant pour asymptotes les droites L'^OLi et LjOL2. Lorsque la trace du plan sécant est comprise dans l'angle LJ^OL, , on a R < o et, pour avoir la portion correspondante de l'indicatrice, on doit poser

J — /— R coscp, r^ = / — R sino,

566 CHAPITRE XII. — SURFACR8.

ce qui conduit à l'équalion de Thyperbole conjuguée de la précé-

denle

rj*-f- asjr^ -^ ^y^*— - i.

L'ensemble de ces deux hyperboles conjuguées perraet encore de se faire une idée de la variation du rayon de courbure d*une section normale. Si Ton prend pour axes de coordonnées les axes de ces hyperboles, la formule générale (8) prend encore la forme (lo), R| et R2 désignant les deux rayons de courbure principaux, dont l'un est positif, l'autre négatif.

3" s^ — rt =: o. Dans ce cas, le rayon de courbure R conserve un signe constant, le signe -{- par exemple. L'indicatrice est encore représentée par l'équation (9); mais cette courbe, étant du genre parabole et ayant pour centre l'origine, se compose forcément de deux droites parallèles. Si l'on a pris l'axe des y paral- It'le à ces deux droites, on doit avoir dans ce système d'axes s = Oj ^ = o, et la formule générale (8) prend la forme

I cos'c

On peut aussi la considérer comme un cas limite de la formule (10), obtenu en supposant que l'un des rayons de courbure principaux R2 devient infini.

Les formules d'Euler peuvent aussi s'établir sans avoir besoin de la formule préliminaire (5). Le point de la surface étant pris pour origine et le plan tangent pour plan des ary^ on peut écrire, en poussant le développement de z par la formule de Taylor jusqu'aux termes du troisième ordre,

r.T^ - 1SXV -^- tv^

les termes non écrits étant du troisième ordre, ou d'ordre plus élevé. Pour avoir le rayon de courbure de la section faite par le plan j' ~ xtang^, on peut faire d'abord la transformation de coordonnées

et poser ensuite^'' — o, ce qui donne le développement de z suivant les