I. ^ COURBUBB DBS COURBES TBACÉBS 8UB UNE SURFACE
puissances de x'
r cos'© - - is sino cosrp a- t sin'îp ,,
et, en appliquant la remarque du n* 214, nous retrouvons la formule (8).
Remarques, — La courbe d'intersection de la surface par son plan tangent, qui a pour équation
o = rx^-^isxy -\~ ty^-{- Oz{x^ ^) — .. .,
présente un point double à Torigine, et les tangentes au point double sont précisément les tangentes asymptotiques. Plus généralement, si deux surfaces S, Si sont tangentes à l'origine au plan des xy^ la projection de la courbe d'intersection sur le plan des xy a pour équation
7*1. 5i, ti ayant la même signification pour la surface Si que r, Sy t pour la surface S. La nature du point double dépend du signe de l'expression (5 — SxY — (/• — rx){t — tx)\ si celle-ci est nulle, la courbe d'intersection présente en général un point de rebroussement.
En résumé, il existe en chaque point d'une surface quatre positions remarquables pour les tangentes à celte surface; deux tangentes rectangulaires pour lesquelles le rayon de courbure K est maximum ou minimum, et deux tangentes asymptotiques ou tangentes principales pour lesquelles R est infini. On obtient celles-ci en égalant à zéro le trinôme ra^-^ 2 5aP 4- ^^^ [cf. n° 238). Nous allons montrer maintenant comment on détermine les seclions normales principales et les rayons de courbure principaux dans un système d'axes rectangulaires quelconque.
241. Rayons de courbure principaux. — A une valeur donnée pour R correspondent en général deux sections normales, dont le rayon de courbure correspondant a la valeur donnée; il n'y a d'exception que si R est égal à l'un des rayons de courbure principaux, et il n'y a dans ce cas que la section normale principale correspondante qui admette ce rayon de courbure. Pour déterminer les sections normales dont le rayon de courbure est R, nous avons à déterminer a, p, y par les trois relations
ra2-^2Jap -+- ^p*, ^{=P^^Ç?i a* -H P*
568 CHAPITRE lu. — SURFACES.
dont il est facile de former une combinaison homogène et de degré zéro en a, p,
le rapport ° est donc fourni par l'équation
a«(i-f-/>«— rD)-t-2aP(/?ç — 5D)-*- p«(i -+- ç'— ^D) r^^ o,
où l'on pose R = D ^'n-/?^-i-y^. Si cette équation admet une racine double, cette racine annule à la fois les deux dérivées partielles du premier membre par rapport à a et à p,
a(i -+-/?«— rD) -h P(/?9 — 5D) = o,
en éliminant a et ^, on obtient Téquation qui donne les rayons de courbure principaux, équation qui s'écrit, en remplaçant D par sa valeur,
Si, au contraire, on élimine D entre les relations (12), on obtient une équation du second degré qui détermine les traces sur le plan tangent des sections normales principales
^'^^ I ^ap[(i-h/>*)f-(i + ^«)r]-f-p«[/>5rf(n.^«)5] =0,
D'après la nature même de la question, les racines des équations (i3) et (i4) sont toujours réelles; ce qu'il est aisé de vérifier par un calcul direct.
Pour que l'équation en R ait ses racines égales, il faudra que l'indicatrice soit un cercle, et toutes les sections normales auront alors le même rayon de courbure. Le second membre de la formule (11) devra donc être indépendant du rapport ^, et il faudra pour cela que l'on ait
/ CN r S t
l-f-/?' pq I -i- ^*
Les points qui satisfont à ces conditions s'appellent des ombilics. En ces points, l'équation (i4) se réduit à une identité, puisque tout diamètre d'un cercle est aussi un axe de symétrie.
l. - COLBBUBK DKS COURBES TRACÉES SUR UNE SURFACE. 56g
On peut quelquefois déterminer, par des consîdéralions géoraélriques, les sections normales principales d'une surface. Par exemple, si une surface S admet un plan de symétrie passant par un point M de cette surface, il est clair que la droite d'intersection de ce plan avec le plan tangent en M est un axe de symétrie de l'indicatrice, et la section par le plan de symétrie est une des sections normales principales. Ainsi, en un point d'une surface de révolution, la méridienne est une des sections normales principales; le plan de la seconde section normale principale passe donc par la normale à la surface et la tangente au parallèle. Or on connaît le centre de courbure de l'une des sections obliques passant par la tangente au parallèle, le centre du parallèle lui-même. Il en résulte, d'après le théorème de Meusnier, que le centre de courbure de la seconde section principale est au point de rencontre de la normale à la surface avec l'axe.
En un point d'une surface développable, on a s^ — rt = o, et l'indicatrice est un système de deux droites. Une des sections principales se confond avec la génératrice elle-même, et le rayon de courbure principal correspondant est infini. Le plan de la seconde section principale est perpendiculaire à la génératrice. Tous les points d'une surface développable sont paraboliques, et ce sont les seules surfaces possédant cette propriété (n° 222).
Si une surface non développable est convexe en certains points, à courbures opposées en d'autres points, elle possède, en général, une ligne de points paraboliques qui sépare les régions pour lesquelles s^ — rt est positif des régions pour lesquelles s* — rt est négatif. Par exemple, sur le tore, cette ligne est formée des deux parallèles extrêmes.
Sur une surface convexe, il n'y a en général qu'un certain nombre d'ombilics isolés les uns des autres. On démontre comme il suit que la seule surface réelle dont tous les points sont des ombilics est la sphère. Appelons encore X, fx, v les cosinus directeurs de la normale à la surface; en difTérentiant les formules (2), il vient
dx ""
pqt — ( I -f- q^)s
dx
pqs-(i^p*)f
relations qui deviennent, en tenant compte des formules (i5), dy ' ' ôx ~ "* dx ~~ dy'
La première prouve que X ne dépend que de x^ la seconde que fi. ne dépend
que de r; la valeur commune des dérivées -7-$ -r- est donc à la fois indé-
ox dy
pendante de ar et de^ : c'est une constante — • On en tire
^ >Ja^ — {^x — x^Y—{y -yo)-
et la valeur de z, obtenue par l'intégration, est
on retrouve bien Téquation d'une sphère. On verrait de même que, si l'on
^ ^ = 2p =0, la surface est un plan. Mais les relations (i5) admettent
en outre une infinité de solutions imaginaires, qui satisfont à l'équation I -!-/?*-{- y* = o, comme on peut le vérifier en diiïérentiant cette relation par rapport à a? et par rapport à y.
