II. — DBTBRIIINANTS P0NCTI0NNBL

fondamentales des logarithmes, si leur invention n'avait précédé celle du Calcul intégral.

Pour donner une autre application, prenons un système de n équations à n inconnues Ui, u*, . . . , u^

l F,(U|, U, Un) = H,,

F,(m,, uty ..., M«) = H.,

\ F«(M|, Ut, ..., Un) = Hrt,

Ht, H), ..., Un étant des constantes ou des fonctions d'autres variables Xif Xif ..., Xm, qui peuvent aussi figurer dans les fonctions F/.

Lorsque le jacobien -^ *^ — ** '"* — ^ est identiquement nul, il y a entre

U(M|, Mj, . . ., Un)

les /i fonctions F/ un certain nombre de relations distinctes, soit n — k, de la forme

F^,= ni.(F„ ...,F^), ...,F« = n„A-(F„ ...,F^);

pour que les équations (19) soient compatibles, il faut évidemment que l*on ait

et, s*il en est ainsi, les /inéquations (19) se réduisent à k équations distinctes. On a donc les mêmes cas particuliers que dans la discussion d*un système d'équations linéaires.

29. Autre propriété du jacobien. — Le jacobien d'un système de n fonctions de n variables présente des propriétés analogues à celles de la dérivée d'une fonction d'une seule variable. Ainsi le théorème précédent peut être considéré comme une extension du théorème du n** 8.

La formule qui donne la dérivée d'une fonction de fonction peut de même être étendue au jacobien. Soient F, , Fj, . . . , F„ un système de n fonctions des variables W|, ^2? •••? ^^/o ^1^ supposons que ^1 , e/2, . . », Un soient elles-mêmes des fonctions des n variables indépendantes X|, Xs, . . • , Xn- On a la formule suivante

D(F|, Ft, ..., F;,) ^ D(Fi,F„ ..., F^) ^ D(ut, a„ .... u,,) ï>(^t, a:,, ..., Xn) D(w,, w„ ..., Un)' b(a:,, a?,, ..., x„)'

dont la démonstration résulte immédiatement de la règle de multiplication des déterminants, et de la formule qui donne la dérivée G. 5

d'une fonction composée. Écrivons en effet les deux déterminants

dUn

dui

àFn

dux

dui

âui

duf

à Un

dxi

dXy

ôx.

dux

âut

âUn

àXn

dXn

àXn

àUa

en permutant les lignes et les colonnes du second; le premier élément du produit est égal à

ôFt dui dFj dui

à¥x àun

âui ôxi oui dxi

Ou„ âxi

c'est-à-dire à t-^> et de même pour les autres.

âXi

30. Hessien. — Soit /(a?, j^, z) une fonction de trois variables x^y^z;

on appelle hessîen le déterminant fonctionnel des trois dérivées par-

. „ àf df âf tielles ^- , -^y -ff

dx' dy' àz

dx*

àxdy

dxâz

àxdy

ày àz

dxâz

dyds

le hessîen se définit de la même façon pour une fonction de n variables, il joue un r61e analogue à celui de la dérivée seconde d'une fonction d'une seule variable. Nous allons établir pour ce déterminant une propriété d'invariance remarquable. Supposons qu'on effectue sur les variables x^y^ z une substitution linéaire

X, Y, Z étant les nouvelles variables, et a, p, y» telles que le déterminant de la substitution

Y* des constantes

soit différent de zéro. Après cette substitution, la fonction f{x^y^ z) se