II. — DÉTBUIINANTS FONCTIONNELS
change en une nouvelle fonction F(X, Y, Z) des trois variables X, Y, Z. Soit H(X, Y, Z)le hessien de cette nouvelle fonction; nous allons démontrer que Ton a identiquement
H(X, Y, Z) = AU(ar,^, -3),
or, r, z étant supposés remplacés par leurs e\pressions (19/ dans h(x^y^ z). On a, en effet,
j.fàF dF dF\ /ÔF àF dF\
^\d\''d\* dz) ^\â\' ôY'àz) D(x,y,z) "- D(X, Y, Z) - D(x,j^,z) 'DCX, Y, Z)'
si nous considérons, pour un moment, t^> t^> ^ comme des variables ^ ^ dx dy dz
intermédiaires, on peut encore écrire
Il = \()X à\ dL] \dx dy dz ) D(ar, ^, z) (df df df\ • D{x,y,z) 'DCX, Y, Z)* ""{dx' dy' dz)
Or, de la relation F(X, Y, Z) =/(x, y, z)^ on déduit
d\ ~ dx'
dz'
et, par suite,
on a donc
dZ
dx
/dF dF dF\ ^[dX'Wdz)
\dx^ dy' dz)
a CL a'
et il est clair que le théorème est général.
Voici une application de cette propriété du hessien. Considérons une foraie binaire cubique
/{x^y) = aj7*-+- 'ibx^y -+- Zcxy^-\- dy^^
les coefficients a, 6, c, d étant des constantes quelconques; on a, en négligeant un facteur numérique,
ax -\-hy 6j7 -h cy hx-^-cy cx-^-dy
= {ac^b^)x^-h{ad—bc)xy-{-{bd'-c^)y^f
de sorte que le hessien est une forme binaire quadratique. Ecartons d'abord le cas particulier où le hessien serait un carré parfait; on peut le décomposer en un produit de deux facteurs linéaires distincts
h = (mx -+- ny){px H- qy).
Si Ton effectue la substitution linéaire
ma7H-/ij = X, px -{- qy = \,
la ÎQvmQ f{x^ y) se change en une nouvelle forme
F(X, Y) = AX8-+- 3BX«Y -f- 3 CXY*4- DY»,
dont le hessien
H(X, Y) = ( AC — B»)X*-+- (AD - BG)XY -t- (BD — C»)Y»
doit se réduire, d'après la propriété d'invariance qui vient d'être démontrée, à un produit de la forme KXY. Les coefficients A, B, G, D doivent donc satisfaire aux deux relations
B*— AC = o, BD — C*=o.
Si l'un des deux coefficients B, G était différent de zéro, il en serait de même de l'autre, et Ton aurait
^ = "G' ^ = ¥' F(X, Y)=ïi,(B3X» + 3B»GX*Y-+-3BG*XY«-i-G»Y3)= 15^L±,511!,
de sorte que F(X, Y), et par suite /(a:, y)^ serait un cube parfait. En écartant ce cas exceptionnel, on voit que l'on aura B = G = o, et le polynôme F(X, Y) sera réduit à la forme canonique
AX'-i-DY»;
la réduction de la forme f{v^ y) à la forme canonique n'exige donc que la résolution d'une équation du second degré, celle que l'on obtient en égalant le hessien à zéro. Les variables canoniques X et Y sont précisément les deux facteurs du hessien.
On verrait de la même façon que, lorsque le hessien est un carré parfait, la forme fix^y) est réductible à la forme AX^-hBX^Y; lorsque le hessien est identiquement nul, f{x,y) est un cube parfait
m. — CHANGEMENTS DE VARIABLES. 69
