IV. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DBOITES
celle généralrice, donnenl une idée nelle de ces deux disposilions. Cela posé, imaginons qu'on déplace d'une façon continue le Irièdre des axes de coordonnées de façon à amener l'origine au poinl central Oj , Taxe des z venant coïncider avec la génératrice et le plan des xz avec le plan central. Il est clair que l'expression (54) du paramètre de distribution conserve une valeur constante, et la formule (53) devient, dans le nouveau système d'axes,
(53 è«) tange=^X:5,
h désignant Tangle du plan tangent avec le plan y = o compté
dans un sens convenable.
Pour la valeur Uq du paramètre qui correspond à l'axe Oz, on
doit avoir a = b=p^=q = Ojet l'équation du plan tangent (49)
se réduit ici à
Pour que l'origine soit le point central et le plan des xz le plan central, il faut que l'on ait a'= o, g'^= o, et l'équation du
plan langent devient Y=--,-X, tandis que la formule (54) donne A" = ,* On voit donc que, dans la formule (53 bis)^ on
doit compter l'angle 0 de Oy vers Ox. Si le trièdre des axes a la disposition adoptée plus haut (n° 228), un observateur couché sur Oz verra le plan tangent tourner de gauche à droite si k est positif, et de droite à gauche si k est négatif.
On appelle ligne de striction d'une surface réglée le lieu des points centraux des différentes génératrices. Les coordonnées d'un point de cette ligne en fonction du paramètre u sont données par les équations (48) et (52).
Remarque, — Si l'on a, pour la génératrice considérée, a' q' = b'p'j le plan tangent reste le même tout le long de la génératrice. Lorsque cette relation est vérifiée pour toutes les valeurs de ^/, la surface réglée est développable (n'^ 223), et il est facile de retrouver les résultats déjà établis. En effet, si a' et b' ne sont pas nuls en même temps, le plan tangent est le même en tous les
points de G, et devient Indéterminé pour le point z=z — —.^= — jp,
c'est-à-dire pour le point de contact de la génératrice avec son
enveloppe. En lenant compte de la relation o! q^ — b'p'=o^ on vérifie aisément que la valeur de z^ donnée par la formule (62) est identique à la précédente. La ligne de striction se confond avec l'arête de rebrou ssement; quant au paramètre de distribution, il est infini.
Si a'= &'= o, la surface est un cylindre; le point central est indéterminé.
264. Le point central el le paramètre de distribution peuvent être dé finis d'une autre façon. Considérons, en même temps que la génératrice G, une génératrice voisine Gi, correspondant à la valeur u + A du paramètre, et représentée par les équations
(55) X =(a-+-Aa)^ -+-/?-+- A/?, y =^ {b -^ Lb) z -\- q -h A^.
Soient S la plus courte distance des deux droites G et G|, a l'angle de ces droites et X, Y, Z les coordonnées du point de rencontre de G avec la perpendiculaire commune. Des formules bien connues de Géométrie analytique nous donnent
^ AaA^ H- A6 A/? -h(aA6 — 6Aa)[(a -H Aa)A9 — ib -\- A6)A/>| "" ; (Aa)«-t-(A6}«-h(aA6 — 6Aa)« •'
^ ^a Iq — Aô A/?
v/( Aa)î-4- (A6)«-f- (aA6 — 6 Aa)«
v/(Aa)«-h(A6)^-h(aA^ — ^Aa)« v/a«-+- b^-hi /( rt -h Aa )* -h ( ^ -t- A6 )* -4-1
Lorsque h tend vers zéro, Z a pour limite l'expression trouvée plus haut pour z^^ tandis que -^— a pour limite k. Le point central est donc la position limite du pied de la perpendiculaire commune à G et à une génératrice infiniment voisine, tandis que le
pa ramètre de distribution est la limite du rapport ^g--
Remplaçons dans l'expression de 8, A^, A6, A/?, Aq par leurs d éveloppements suivant les puissances de A,
àa = ha H a -^...,
et de même pour A6, Ap^ Ay; on a, pour le développement du
lY. — NOTIONS SUR LES SYSTÈMES DE DROITES. Sqq
numérateur
La Lg ^ Lb Lp = h^(a'g'— b'p')^ {a' q' h- a' q" -^ b" p' — b' p' ) -i-. . .,
tandis que le dénominateur est toujours du premier ordre en h. On voit que 5 est en général un infiniment petit du premier ordre, sauf dans le cas des surfaces développables, où l'on a a'^r' — b'p' = o.
Mais le coefflcient de — est la dérivée de a' g' — b'p'] ce coefficient est donc nul aussi et, par conséquent, dans une surface développable, la plus courte distance de deux génératrices infiniment voisines est du troisième ordre (n® 230). Cette remarque est due à M. Bouquet, qui a montré en outre que cette distance ne peut être constamment du quatrième ordre que si elle est nulle, c'est-à-dire dans le cas des tangentes à une courbe plane ou des surfaces coniques. Il suffit, pour le voir, de pousser le développement de Aa Aq — A6 Ap jusqu'aux termes du quatrième ordre.
