Congruences. Surface focale. — Tout ensemble de droites

(56) X =z az -^p, y z= bz-^ q^

a, 6, /?, q dépendant de deux paramètres variables a, P, est appelé congruence de droites. Par un point de l'espace, il passe en généra] un certain nombre de droites de la congruence, car on a deux équations pour déterminer a et P, si l'on suppose x^ y^ z connues. Si l'on établit une relation entre les paramètres a et p, la droite G représentée par les équations (56) engendre une surface réglée qui n'est pas en général une surface développable. Pour que cette surface soit développable, il faudra que- l'on ait

da dq — db dp =z o, ou en remplaçant da par 3- <^^ + -jq ^P> • • •

De celte équation du second degré en ^> on tire deux valeurs.

6oo CHAPITRE XII. — SURFACES.

en général distinctes, pour ^>

Sous des conditions très générales qui seront précisées plus tard et que nous supposerons remplies, chacune de ces équations est vérifiée par une infinité de fonctions de a; chacune d'elles admet une intégrale, et une seule, prenant la valeur p© pour a = a^. Toute droite G de la congruence appartient donc à deux surfaces développables, dont toutes les génératrices sont également des droites de la congruence. Soient F et H les arêtes de rebroussement de ces deux développables, A et A' les points de contact de G avec F et F' respectivement. Ces deux points A et A' s'appellent les points focaux de la génératrice. On les obtient comme il suit, sans qu'il soit nécessaire d'avoir intégré Téquation (37) qui donne les développables de la congruence. La coordonnée z de l'un de ces points doit satisfaire à la fois aux deux relations

z da -^ dp = Oy z db -^ dq = Oy

OU, en remplaçant rfa, db, dp^ dq par leurs développements,

En éliminant z entre ces deux relations, on retrouve l'équation (37), mais, si l'on élimine le rapport ^-» on obtient une équation du second degré qui détermine les deux points focaux

.. . I àa dp\( db àq\ / da dp\( ôb ùq\

Le lieu des points focaux A, A' se compose de deux nappes de surfaces S, "ï! dont on obtiendrait l'équation en éliminant a et ^ entre (56) et (59). Ces deux nappes ne sont pas d'ailleurs analytiquement distinctes en général, mais constituent deux nappes d'une même {surface. Ce sont les deux nappes de la surface focale. Cette surface focale est aussi le lieu des arêtes de rebroussement des développables de la congruence. Il est clair en effet